Ecuaciones en diferencias lineales de segundo orden y su aplicación al análisis matricial

Abstract

It is well known the important role that difference equations play in several problems of the engineering or of the science. However, whereas the expression of the solutions when the coefficients of the equations are constant is widely known, the same does not happen for variable coefficients, except for the simplest case of first order equations. This work presents an analysis of the second order linear difference equations equations in the infinite, semi-infinite and finite cases. Moreover, for second order difference equations in the finite case, we study its associated boundary value problem. Our goal is to develop techniques which are analogous to those used in the analysis of the differential equations, and for the finite case, those used for boundary value problems. Although our techniques, with appropriate modifications, are also in accordance with the complex case, in this work we mainly deal the real case, i.e. the case in which all functions involved take values ​​in the field of real numbers. We study first the case of constant coefficients, showing initially the known results about second order linear diffrence equations with constant coefficients, to finish describing the multiple relationships of these equations with Chebyshev polynomials. These relationships allow us to calculate their solutions more directly and simply, without imposing conditions on the coefficients values of the equation . Another advantage of solving equations with constant coefficients using their relationship with Chebyshev polynomials is that you can extend the same approach to equations with variable coefficients and express as well their solutions in terms of functions with two arguments that we named Chebyshev functions. In this way, we get a closed formula to obtain the solutions for second order linear difference equations with variable coefficients. Given the close relationship between second order difference equations in the finite case and the inverse of tridiagonal matrices, in the last chapter we present the application of the above results to determine the invertibility of those matrices and, in that case, explicitly get its inverse.

Las ecuaciones en diferencias juegan un importante papel en variados problemas científicos y de ingeniería. Sin embargo, mientras que la expresión de las soluciones cuando los coeficientes de las ecuaciones son constantes es ampliamente conocida, no ocurre lo mismo para coeficientes variables, excepto en el caso mas simple de las ecuaciones de primer orden. En este trabajo presentamos un estudio de las ecuaciones en diferencias lineales de segundo orden, en los casos infinito, semi-infinito y finito. También, para las ecuaciones en diferencias de segundo orden en el caso finito, estudiamos los problemas de contorno asociados. Nuestro objetivo es desarrollar técnicas que sean análogas a aquéllas que se usan en el análisis de las ecuaciones diferenciales y, para el caso finito, las utilizadas en problemas de contorno. A pesar de que nuestras técnicas, con las convenientes modificaciones, también se ajustan al caso complejo, en este trabajo tratamos principalmente el caso real, es decir, el caso en el que todas las funciones involucradas toman valores en el cuerpo de los números reales. Estudiamos en primer lugar el caso de coeficientes constantes, presentando primero los resultados conocidos para acabar describiendo las múltiples relaciones de las ecuaciones en diferencias de segundo orden con coeficientes constantes con los polinomios de Chebyshev. Dichas relaciones nos permiten el cálculo de sus soluciones de forma más directa y sencilla, sin necesidad de imponer condiciones sobre los valores de los coeficientes de la ecuación. Una ventaja añadida de resolver las ecuaciones con coeficientes constantes utilizando su relación con los polinomios de Chebyshev, es que se puede extender la misma estrategia a las ecuaciones con coeficientes variables, pudiendo expresar también sus soluciones en términos de las que denominamos funciónes de de Chebyshev de dos argumentos. De esta forma, conseguimos una fórmula cerrada y de cálculo directo. Dada la estrecha relación entre las ecuaciones en diferencias de segundo orden en el caso finito y la inversión de matrices tridiagonales, en el último capítulo presentamos la aplicación de los resultados antes mencionados para determinar la invertibilidad de dichas matrices y, en ese caso, obtener explícitamente su inversa.