Simulation of two-fluid immiscible Stokes flows using hybrid nonconforming methods and geometrically unfitted meshes

Abstract

(English) We consider two-fluid problems involving immiscible Stokes fluids in contact and with surface tension at their interface. We develop, analyze, and compare two approaches for space discretization, the Hybrid High-Order (HHO) and the Hybridizable Discontinuous Galerkin (HDG) methods, both combined with a geometrically unfitted approach to handle fluid interfaces. Both methods do not place discrete unknowns on the interface, and for both methods, we observe optimal error decay and condition number growth. The first part of the Thesis deals with the unfitted HHO solver, where the interface is described by a level-set function and discretized using isoparametric finite elements. We use the methodology to study the equilibrium problem with a shear flow imposed at infinity, and we investigate the relationship between the eccentricity of the ellipse-shaped interface at equilibrium and the ratio of shear to surface tension force Then, we explore settings where the shape of the interface is unknown. We devise a fixed-point iterative procedure that alternates a transport step for the level-set function with the unfitted HHO solver with frozen interface. In the second part of the Thesis, the unfitted HDG solver is combined with a NURBS description of the interface and of the external boundary, enabling a seamless transition from CAD geometries. We use this solver to study one- and two-fluid Stokes problems with applications in microfluidics related to microfluidic mixers and to emulsion flows in porous media. Both applications employ a polynomial-adaptivity error estimator, delivering results with at least two significant digits. Finally, in the third part of the Thesis, the HDG and HHO methods are compared for one- and two-fluid Stokes problems. In the simplest setting, we prove that the HHO and HDG methods can differ only in the choice of the approximation spaces and of the stabilization operator.

(Català) Considerem problemes de dos fluids de Stokes immiscibles separats per una interfície amb tensió superficial. Desenvolupem, analitzem i comparem dos enfocaments per a la discretització espacial, el mètode híbrid d'alt ordre (HHO) i el mètode Galerkin discontinu hibriditzable (HDG), ambdós combinats amb tècniques de malles no ajustades per a processar la interfície entre dits fluids. Cap dels mètodes no col·loquen incògnites discretes a la interfície i mostren una disminució òptima de l'error i un creixement òptim de la condició del sistema lineal. La primera part de la tesi es centra en el solucionador HHO, en què la interfície és descrita per una funció de nivell i disctretitzada mitjançant elements finits isoparamètrics. Utilitzem aquest mètode per estudiar el problema d'equilibri amb flux de cisallament imposat a l'infinit, especialment la dependència de l'excentricitat de la interfície (que té forma el·líptica) amb el quocient entre les forces de cisallament i la tensió superficial. Després, explorem situacions en què la forma de la interfície és desconeguda. Desenvolupem un procediment iteratiu de punt fix que alterna entre un pas de transport de la funció de nivell per a la interfície i el solucionador HHO amb la interfície fixa. A la segona part de la tesi, el solucionador HDG es combina amb una descripció de la interfície i el contorn exterior mitjançant NURBS, cosa que simplifica el procés d'extracció d'informació de geometries obtingudes per CAD. Utilitzem aquest solucionador HDG per resoldre problemes de flux d'un i dos fluids de Stokes en aplicacions de microfluids, com el flux en un barrejador microfluïdic i emulsions en mitjans porosos. En tots dos casos, fem servir un estimador d'error que permet adaptar el grau polinòmic i obtenir resultats amb almenys dos dígits significatius. A la tercera part de la tesi, comparem els mètodes HHO i HDG per a problemes de Stokes d'un i dos fluids. En els casos més simples, demostrem que HHO i HDG només poden diferir en l'elecció dels espais discrets locals i la forma de l'estabilització.