Definition of multidimensional reduced order models for the elastic analysis of large composite structures

Abstract

(Engilsh) Modern composite materials, primarily based on the union of polymeric matrices and fibers of glass, carbon or any other fiber of remarkable rigidity, have paved the way for the design and manufacture of lightweight structures that are at the same time extremely stiff and resistant. The very nature of these composite materials and their manufacturing methods have increased the complexity of both the shapes and the designs of the manufactured structures, giving rise to sophisticated laminates joined by transitions with the presence of reinforcements or lightweights.

Numerical computational methods, most notably the finite element method, play a key role in the contemporary design and development of this state-of-the-art engineering composite structures. Over the past fifty years, these methods have evolved exponentially alongside computational power. However, the increased complexity of computations stemming from reproducing such materials' behaviors and discretizing their geometries among others, necessitates of a continuous effort to reduce and optimize their computational costs.

The discretization of these geometries and the resulting mesh have a direct impact on the computational cost, particularly pronounced in the analysis of slender structures such as beams and shells characteristic of composite materials, where the discretization demands a large number of finite elements in order to capture the stress distribution variations taking place through the laminates. All together further accentuates the need for analytical methodologies that balance computational efficiency and accuracy.

To address this challenge, multiple kinematic models have been proposed over time that parameterize the kinematics of a regular beam or laminate with a reduced number of variables, concentrating all the discretization to simple lines or surfaces respectively. However, they are not able to predict the behavior when the laminate loses its regularity, i.e. at and around discontinuities, regions which are usually more critical and therefore of more interest.

In, this context, this work explores two methodologies, the second-order multiscale analysis for beam and shell models and the kinematic coupling between models based on the work equilibrium, once presented, it adapts them to irregular beams and laminate areas. For the former, a homogenization process is proposed to characterize, at the constitutive level, the stiffness of irregular regions within the laminate by defining a set of boundary conditions. Regarding the kinematic coupling, it is adapted to layered laminar models, typical of composite structures, thus allowing the use of the most cost-effective model in each region of the structure. The coupling is then used to develop reduced order models compatible with beam and shell elements capable of capturing the stiffness of both regular and irregular regions.

This work concludes by acknowledging the potential for further improvement and innovation in these approaches, especially concerning the study of composite structures in regions with discontinuities not easily addressed by conventional shell or beam models.

(Català) Els materials composts moderns, basats principalment en la unió de matrius polimèriques i fibres de vidre, carboni o qualsevol altra fibra de rigidesa elevada, han aplanat el camí per al disseny i la fabricació d'estructures lleugeres que són al mateix temps extremadament rígides i resistents. La pròpia naturalesa d'aquests materials composts i els seus mètodes de fabricació han incrementat la complexitat tant de les formes com dels dissenys de les estructures fabricades, donant lloc a sofisticats laminats units per transicions i amb presència de reforços i/o alleugeriments.

Els mètodes numèrics, entre els quals destaca el mètode dels elements finits, exerceixen un paper fonamental en el disseny i desenvolupament contemporanis d'aquestes estructures d'última generació. En els últims cinquanta anys, aquests mètodes han evolucionat exponencialment juntament amb la potència de càlcul. No obstant això, la creixent complexitat dels càlculs derivats de reproduir el comportament d'aquests materials i de discretitzar les seves geometries, entre altres, exigeix un esforç continu per a reduir i optimitzar els costos computacionals associats.

La discretització d'aquestes geometries i la malla resultant tenen un impacte directe en el cost computacional, particularment pronunciat en l'anàlisi d'estructures esveltes com son los formades per bigues i làmines, característiques dels materials composts, on la discretització exigeix un gran nombre d'elements finits per a captar les variacions de tensions que s’hi originen. Tot això accentua encara més la necessitat de metodologies d'anàlisis que equilibrin l'eficiència computacional i la precisió.

Per a abordar aquest repte, al llarg del temps s'han proposat múltiples models cinemàtics que parametritzen la cinemàtica de les bigues o làmines amb un nombre reduït de variables, concentrant tota la discretització en línies o superfícies de referència, respectivament. No obstant això, aquests no són capaços de predir el comportament quan el laminat perd la seva regularitat, és a dir, en i al voltant de les discontinuïtats, regions que solen ser més crítiques i, per tant, de major interès.

En, aquest context, aquest treball explora dues metodologies, l'anàlisi multiescalar de segon ordre per a models de biga i làmines i l'acoblament cinemàtic entre models basats en l'equilibri del treball, que una vegada presentats, adapta a bigues i àrees laminars irregulars. En el primer cas, es proposa un procés d'homogeneïtzació per a caracteritzar, a nivell constitutiu, la rigidesa de les regions irregulars dels laminats mitjançant la definició d'un conjunt de condicions de contorn a aplicar durant l'homogeneïtzació. Quant a l'acoblament cinemàtic, s'adapta a models laminars de múltiples capes, característiques de les estructures de materials composts, la qual cosa permet utilitzar el model més eficient des del punt de vista computacional en cada regió de l'estructura. A continuació, l'acoblament desenvolupat s'utilitza per a definir models d'ordre reduït compatibles amb elements biga i làmines, capaços de capturar la rigidesa de regions tant regulars com irregulars.

Aquest treball constata el potencial existent per a continuar millorant i innovant en aquestes metodologies, especialment pel que fa a l'estudi d'estructures de materials composts amb regions de discontinuïtats no fàcilment tractables pels models convencionals de bigues i lamines.

(Español) Los materiales compuestos modernos, basados principalmente en la unión de matrices poliméricas y fibras de vidrio, carbono o cualquier otra fibra de notable rigidez, han allanado el camino para el diseño y la fabricación de estructuras ligeras que son al mismo tiempo extremadamente rígidas y resistentes. La propia naturaleza de estos materiales compuestos y sus métodos de fabricación han incrementado la complejidad tanto de las formas como de los diseños de las estructuras fabricadas, dando lugar a sofisticados laminados unidos por transiciones y con presencia de refuerzos y/o aligeramientos.

Los métodos numéricos, entre los que destaca el método de los elementos finitos, desempeñan un papel fundamental en el diseño y desarrollo contemporáneos de estas estructuras de última generación. En los últimos cincuenta años, estos métodos han evolucionado exponencialmente junto con la potencia de cálculo. Sin embargo, la creciente complejidad de los cálculos derivados de reproducir el comportamiento de estos materiales y de discretizar sus geometrías, entre otros, exige un esfuerzo continuo para reducir y optimizar los costes computacionales asociados.

La discretización de estas geometrías y la malla resultante tienen un impacto directo en el coste computacional, particularmente pronunciado en el análisis de estructuras esbeltas como vigas y láminas, características de los materiales compuestos, donde la discretización exige un gran número de elementos finitos para captar las variaciones de tensiones que se originan. Todo ello acentúa aún más la necesidad de metodologías de análisis que equilibren la eficiencia computacional y la precisión.

Para abordar este reto, a lo largo del tiempo se han propuesto múltiples modelos cinemáticos que parametrizan la cinemática de las vigas o laminados con un número reducido de variables, concentrando toda la discretización en líneas o superficies de referencia, respectivamente. Sin embargo, éstos no son capaces de predecir el comportamiento cuando el laminado pierde su regularidad, es decir, en y alrededor de las discontinuidades, regiones que suelen ser más críticas y, por tanto, de mayor interés.

En, este contexto, este trabajo explora dos metodologías, el análisis multiescalar de segundo orden para modelos de viga y láminas y el acoplamiento cinemático entre modelos basados en el equilibrio del trabajo, que una vez presentados, adapta a vigas y áreas laminares irregulares. En el primer caso, se propone un proceso de homogeneización para caracterizar, a nivel constitutivo, la rigidez de las regiones irregulares de los laminados mediante la definición de un conjunto de condiciones de contorno a aplicar durante la homogenización. En cuanto al acoplamiento cinemático, se adapta a modelos laminares de múltiples capas, características de las estructuras de materiales compuestos, lo que permite utilizar el modelo más eficiente desde el punto de vista computacional en cada región de la estructura. A continuación, el acoplamiento desarrollado se utiliza para definir modelos de orden reducido compatibles con elementos viga y láminas, capaces de capturar la rigidez de regiones tanto regulares como irregulares.

Este trabajo constata el potencial existente para seguir mejorando e innovando en estas metodologías, especialmente en lo que se refiere al estudio de estructuras de materiales compuestos con regiones de discontinuidades no fácilmente tratables por los modelos convencionales de vigas y laminas.