The Primitive Function of an Exact Symplectomorphism. Variational principles, Converse KAM Theory and the problems of determination and interpolation

Abstract

We have divided this thesis in four parts:<br/><br/>a) PART I: Exact symplectic geometry (introduction of the problems). This part contains the basic tools of symplectic geometry and outlines the four subjects that we have study along the thesis: the determination problem, the interpolation problem, the variational problem and the breakdown problem.<br/><br/>b) PART II: On the standard symplectic manifold (analytical part). We recall the necessary tools to work on R(d) x R(d). That is we perform a coordinate treatment of the results. First of all we relate different kinds of generating functions to the primitive function and later we solve formally the determination problem. Then we introduce different variational principles: for fixed points, periodic orbits and orbital segments. Their invariance under certain kind of transformations of phase space is proved, and we interpret physically such results. Finally we give the basic properties of invariant exact Lagrangian graphs obtaining at last that if our graph is minimizing then its orbits are minimizing.<br/><br/>c) PART III: On the cotangent bundle (geometrical part). The first three chapters are similar to the three previous ones with the difference that we do an intrinsic treatment of the results by considering any cotangent bundle. The fourth chapter in this part deals with the solution of the interpolation problem given in analytic set up. <br/><br/>d) PART IV: Converse KAM theory (numerical part). The last part deals with the applications to converse Kolmogorv-Arnold-Moser (KAM) theory. First of all we give a small list of different examples that we shall study later. Then we generalize converse KAM theory and we related it to the Lipschitz theory by Birkhoff and Herman. Then we perform our variational Greene method and apply it to different examples. Also we study numerically the Aubry-Mather sets in higher dimensions. After this we apply our methods to the rotational standard map that is a symplectic skew product. Then we give some ideas about the geometrical obstructions for existence of invariant tori showing them with a simple example. We also find some known Birkhoff normal forms using our methods. Finally we explain briefly how our theory can be used for arbitrary Lagrangian foliations.

La present memòria es troba dividida en quatre parts ben diferenciades. La primera conté les eines bàsiques de la geometria simplèctica i planteja els quatre problemes que tractarem al llarg de la memòria: el problema de determinació, el problema d'interpolació, el problema variacional i el problema del trencament de tors invariants. <br/><br/>La segona part tracta sobre la varietat simpléctica estàndard, i vindria a ser la part analítica. Aquí hem treballat a R(d) x R(d), és a dir hem fet un tractament coordenat dels resultats. Primer relacionem les funcions generatrius amb la funció primitiva i després resolem formalment el problema de determinación. Tot seguit tractem diferents principis variacionals per als punts fixos per a les òrbites periòdiques i per als segments orbitals. La seva invariància respecte a certs tipus de transformacions de l'espai de fase és demostrada donant una interpretació física. Finalment donem les propietats bàsiques dels grafs Lagrangians invariants, especialment aquella que diu que les òrbites sobre un graf minimitzant són minimitzants.<br/><br/>La tercera part abraça el tema del fibrat cotangent, la part geométrica de l'obra. Els tres primers capítols segueixen més o menys la línia dels tres precedents amb la diferéncia fonamental que aquí considerem qualsevol fibrat cotangent. Fem llavors un tractament intrínsec. El quart capítol d'aquesta part està dedicat a resoldre el problema d'interpolació en el cas analític.<br/><br/>La quarta i darrera part (que vindria a ser la secció numèrica de la tesi), tracta de les aplicacions a la teoria Kolmogorv, Arnold i Moser (KAM) inversa o del trencament dels tors invariants. Primer donem una llista d'exemples que utilitzarem més endavant. Després generalitzem la teoria KAM inversa i la relacionem amb la teoria Lipschitziana de Birkhoff i Herman. Llavors implementem el nostre criteri de Greene variacional i l'apliquem a diferents exemples. També estudiem els equivalents dels conjunts d'Aubry-Mather en dimensió alta (bé = 4). Després apliquem aquesta metodologia a l'aplicació estàndard rotacional (3D), indicant abans la teoria necessària. Llavors donem algunes idees de com generalitzar els criteris obstruccionals a dimensions altes hi ho mostrem amb un petit exemple. Finalment retrobem algunes formes normals de Birkhoff utilitzant la nostra metodologia basada en la funcióprimitiva i expliquem una mica com es podria considerar la nostra teoria tenint en compte foliacions Lagrangianes arbitràries.