A qualitative and quantitative study of some planar differential equations

Abstract

La tesis consta de cinco capítulos y está dividida en dos partes muy diferenciadas. La primera dedicada tanto al uso del llamado Método del Balance Armónico (MBA) como a su fundamentación teórica. La segunda se ocupa del estudio cuantitativo y cualitativo de dos familias de ecuaciones diferenciales polinomiales en el plano. El MBA proporciona una manera de obtener aproximaciones de las soluciones periódicas de ecuaciones diferenciales, así como su periodo. En los Capítulos 1 y 2 utilizamos el MBA para encontrar aproximaciones de la función de periodo de ciertas familias de ecuaciones diferenciales en el plano. La principal contribución de la tesis en este tema ha sido el estudio analítico paralelo de la función de periodo y la constatación de que las aproximaciones obtenidas vía el MBH recogen varias de las propiedades, tanto locales como globales, de esta función. En el Capítulo 3 se demuestra que cerca de ciertas aproximaciones obtenidas usando el MBH hay soluciones periódicas reales de la ecuación diferencial estudiada. Para obtener nuestros resultados nos basamos en resultados clásicos de Urabe (1965) y Stokes (1972). En la segunda parte del trabajo se abordan problemas cuantitativos, dentro de la llamada Teoría Cualitativa de las Ecuaciones Diferenciales. Más concretamente, en ambos capítulos se determinan analíticamente cotas inferiores y superiores de los valores de bifurcación de dos familias 1-paramétricas de ecuaciones diferenciales polinomiales. La diferencia principal entre las familias estudiadas en el Capítulo 4 y en el Capítulo 5 es que la primera es lo que se denomina una familia rotatoria, lo que implica que las bifurcaciones estén más controladas, mientras que la segunda no lo es, y entonces el problema se torna más complicado. Para encontrar las cotas comentadas en el párrafo anterior se introduce un método para la construcción efectiva de curvas algebraicas sin contacto por el flujo de la ecuación diferencial. Estas curvas son buenas aproximaciones de las separatrices, tanto de los puntos críticos al infinito cómo de los finitos. La comprobación de que estas curvas son sin contacto pasa por el control del signo de familias 1-paramétricas de polinomios. Para resolver esta cuestión se introduce en la tesis el concepto de doble discriminante. Además, el control del número de ciclos límite de las ecuaciones diferenciales se realiza utilizando el criterio generalizado de Bendixson-Dulac. El paso final para ver que este criterio se puede aplicar pasa también por el control del signo de un determinado polinomio y de nuevo el doble discriminante tiene un papel relevante. Los métodos desarrollados en estos dos capítulos permiten calcular aproximaciones algebraicas de las separatrices de los puntos críticos de ecuaciones diferenciales en el plano, así como determinar cotas de los valores de los parámetros que hay en las familias de ecuaciones diferenciales para que estas tengan conexiones homoclínicas o heteroclínicas.

The thesis consists of five chapters and is divided into two parts. The first one is devoted to the use of the so-called Harmonic Balance Method (HBM) as well as its theoretical basis. The second one deals with the quantitative and qualitative study of two families of polynomial differential equations in the plane. The HBM provides a method to obtain approximations of periodic solutions of differential equations and their period. In Chapters 1 and 2 we use the HBM to find approximations of the period function of certain families of differential equations in the plane. The main contribution of the thesis on this issue is the parallel analytical study of the period function and the verification that the approximations obtained via the HBM capture several local and global properties of this function. In Chapter 3, it is shown that near certain approximations obtained using the HBM are actual periodic solutions of the differential equation studied. For our results we rely on classical results of Urabe (1965) and Stokes (1972). The second part of the thesis addresses some quantitative problems within the Qualitative Theory of Differential Equations. More specifically, in both chapters we analytically determined the lower and upper bounds of the bifurcation values of two one-parameter families of polynomial differential equations. The main difference between the families studied in Chapter 4 and Chapter 5, is that while the first one is a rotated family, which implies that the bifurcations are more controlled, the second one is not, and hence the problem becomes more complicated. To establish the bounds discussed in the previous paragraph we introduce a method for the effective construction of algebraic curves without contact by the flow of the differential equation. These curves are good approximations of the separatrices of critical points, both finite or at the infinity. The verification that these curves are without contact essentially amounts to controlling the sign of one-parameter family of polynomials. To solve this problem, the concept of double discriminant is introduced in the thesis. Furthermore, the control of the number of limit cycles of differential equations is performed using the generalized Bendixson-Dulac Criterion. The last step to apply this approach also involves the control of the sign of a given polynomial, and again the double discriminant plays an important role. The methods developed in these two chapters allow one to calculate algebraic approximations of the separatrices of the critical points of differential equations in the plane, and to determine bounds for the parameter values that exist in the families of differential equations in such a way that they can have homoclinic or heteroclinic connections.