El conocimiento del profesor de matemáticas en la práctica: enseñanza de la proporcionalidad

Abstract

Esta tesis doctoral se enmarca en el ámbito de la didáctica de las Matemáticas, concretamente en la línea de investigación sobre el análisis de la práctica docente del profesor de Matemáticas en el aula. Tiene como objetivo general de investigación el análisis de la actividad docente en lo que concierne a la temática específica de proporcionalidad en Sexto curso de Primaria y en el Primer curso de Secundaria Obligatoria. Los ejes fundamentales en los que se apoya el marco teórico de esta investigación, centrada en la construcción del conocimiento para la enseñanza de la proporcionalidad, son: el Knowledge Quartet (Rowland, 2005, 2008, 2009), el Mathematical Knowledge for Teaching (Ball, 2008), en particular el Horizon Content Knowledge, y los factores que intervienen en el razonamiento multiplicativo y en la proporcionalidad (Lamon, 2007). La proporcionalidad supone comprender la estructura subyacente a una situación en la cual existe una relación invariante especial entre dos magnitudes que están relacionadas y que cambian a la vez. Comprender la proporcionalidad implica relacionar la razón escalar entre dos valores de la misma magnitud y la razón de proporcionalidad entre la dos magnitudes, así como reconocer la función de proporcionalidad. Uno de los objetivos del trabajo, de carácter metodológico, ha consistido en la construcción de indicadores para el análisis de la práctica del profesorado, de acuerdo con el modelo del Knowledge Quartet de Rowland (Fundamento-Transformación-Conexión-Contingencia). Elegimos este modelo porque es un marco conceptual basado en la práctica, adecuado para analizar episodios de clase, centrándose sobre todo en el contenido matemático del episodio y en el papel que desempeñan el Subject Matter Knowledge (SMK) y el Pedagogical Content Knowledge (PCK) del profesor. La metodología utilizada es de tipo cualitativo y se centra en el estudio de casos. La investigación se ha contextualizado en alumnos que fueron observados y grabados en Sexto curso de Primaria y en el Primer Curso de Secundaria Obligatoria, obteniendo así los datos para nuestra investigación a partir de la grabación en el aula en dos años sucesivos (datos recogidos en el marco del proyecto EDU 2009-07298). Este ha sido un contexto adecuado para estudiar satisfactoriamente la práctica docente -tanto del profesor de Primaria, de formación generalista, como del profesor de Secundaria, de formación especialista-, además de estudiar la transición de etapa de Primaria a Secundaria. De un total de 48 episodios, 15 de Sexto curso de Primaria y 33 del Primer curso de Secundaria, se han seleccionado y analizado 6 episodios (correspondientes a dos profesores distintos, uno de Primaria y otro de Secundaria) en los que el profesor construye el concepto de proporcionalidad, explica una técnica como la de reducción a la unidad y relaciona dicha técnica con el concepto. Los resultados de la investigación nos han permitido, en primer lugar, elaborar un instrumento para realizar el análisis de la actividad docente en el aula; en segundo lugar, analizar desde la práctica docente cuáles son los objetivos del profesor al enseñar el tema de proporcionalidad y cómo construye el concepto de proporcionalidad; y finalmente, explicar las consecuencias que una determinada construcción del concepto de proporcionalidad tiene en el aprendizaje de una alumna concreta. El análisis de la práctica realizado en esta investigación nos ha mostrado la importancia de la elección de los ejemplos concretos para la comprensión tanto del concepto de proporcionalidad como de la técnica de reducción a la unidad. También nos ha mostrado que no se puede separar enseñanza de aprendizaje, puesto que a un determinado modelo de enseñanza le corresponde un determinado aprendizaje que lleva asociado tanto una construcción de los conceptos por parte de los alumnos como un conjunto de dificultades.

The following thesis belongs to the field of didactics in mathematics, specifically in the research on the analysis of teaching practice by the mathematics teacher in the classroom. Its overall research objective is the analysis of teaching activity regarding the specific issue of proportionality and the levels involved in the study are Sixth grade of Primary and the First grade of Secondary. The cornerstones on which the theoretical framework of this research rests, focusing on the construction of knowledge for teaching proportionality, are: Knowledge Quartet (Rowland, 2005, 2008, 2009), the Mathematical Knowledge for Teaching (Ball 2008), particularly the Horizon Content Knowledge, and the factors involved in the multiplicative reasoning and the proportionality (Lamon, 2007). Understanding proportionality means understanding the underlying structure in situations in which there is a relationship between two invariant magnitudes that are related and simultaneously changing its structure. Understanding the proportionality involves relating the scalar ratio between two values of the same magnitude and the proportionality ratio between the two magnitudes, and, at the same time, to examine the function of proportionality. One of the objectives of the work, from the methodological point of view, involved the construction of indicators for the analysis of the teacher’s practice, according to Rowland’s Knowledge Quartet model (Foundation-Transformation-Connection-Contingency). This model was chosen because it is a conceptual framework based on the practice, suitable for analyzing in-class episodes, focusing primarily on the mathematical content of the episode and the teacher’s role of the Subject Matter Knowledge (SMK) and the Pedagogical Content Knowledge (PCK). The methodology is qualitative and is focused on case studies: students were observed and recorded in Sixth grade of Primary and the First grade of Secondary, obtaining data for our research from classroom recordings in a two successive years (data collected in the project EDU 2009-07298). This has been a proper context for studying both teaching practice- both for Elementary teacher of general training and for Secondary teacher of specialist-training, and study the transition from Primary to Secondary. From a total of 48 episodes, 15 of Sixth grade of Primary and 33 of First grade of Secondary, 6 of them were selected and analyzed (corresponding to two different teachers, one in Primary and one in Secondary) to be analyzed on how the teacher builds proportionality concept, explains a technique such as reduction to unity and relates this technique with the concept. The results of the research have allowed us, first, to develop an instrument for analysis of teaching in the classroom; secondly, to analyze, from the teaching practice side, what the objectives of the teacher are in order to teach the subject of proportionality and how to build the concept of proportionality; and finally, to explain what the consequences of a particular construction of the concept of proportionality are in the learning process of a particular student. The practice analysis conducted in this research has shown us the importance of the choice of particular examples so as to understand both the concept of proportionality and the reduction technique unit. It has also shown us that splitting teaching from learning makes no sense, since a particular teaching model corresponds to a particular learning process that leads to both a construction of concepts by students and a set of difficulties.