Semilinear hyperbolic equations and the dynamics of gut bacteria

Abstract

En aquesta tesi proposem un marc matemàtic amb el qual analitzar la dinàmica dels microorganismes que creixen als intestins dels animals. Aquest marc consisteix en un sistema d’EDPs hiperbòliques amb termes de reacció no lineals i certes condicions de frontera que relacionen els microbis de l’ambient amb els que es troben dins els hostes. Al capítol 1 solucionem el Problema Abstracte de Cauchy associat al model considerant la seva formulació semilineal en un determinat espai de Banach X. L’estructura semilineal del sistema obtingut és especial perquè, d’una banda, la llei d’evolució es pot expressar com la suma d’un operador lineal però no acotat i una funció Lipschitz no lineal (situació habitual), però, d’altra banda, la pertorbació no lineal pren valors no en X sinó en un espai més gran Y relacionat amb X (situació atípica). Per tal de tractar el problema utilitzem la teoria de semigrups duals. També estudiem l’estabilitat del sistema al voltant d’equilibris quan la pertorbació no lineal és Fréchet diferenciable. Aquests resultats es basen en dues propietats: la primera relaciona la dinàmica del semiflux amb el semigrup linealitzat al voltant de l’equilibri, i la segona relaciona el comportament asimptòtic del semigrup lineal amb l’espectre del seu generador. La darrera es prova mostrant que el “Teorema de l’Aplicació Espectral” sempre es compleix en els semigrups obtinguts en linealitzar el semiflux. Al capítol 2 es presenta i s’analitza un sistema semilineal d’EDPs hiperbòliques autònom que representa la proliferació de bacteris en un grup heterogeni d’animals. S’assumeix que els bacteris que creixen a l’intestí poden trobar-se suspesos a la llum o adherits a l’epiteli. Donem una condició en funció de paràmetres ecològics que determina l’existència d’equilibris endèmics així com llur estabilitat. Plantegem algunes implicacions relacionades amb la teràpia amb bacteriòfags. Al capítol 3 donem, com a funció de paràmetres del model, el número reproductiu bàsic associat a la població bacteriana, és a dir, el nombre esperat de cèl·lules filles que produeix un bacteri. Addicionalment, introduïm una quantitat alternativa que es basa en el número de bacteris que es produeixen a l’intestí a partir d’un bacteri de l’ambient. La fórmula associada a aquesta segona quantitat és més simple que la primera, la qual cosa permet abordar qüestions sobre la biologia del sistema amb més facilitat. Ambdues quantitats coincideixen i són iguals a 1 al llindar que determina l’extinció, per sota del qual la població bacteriana s’extingeix. També obtenim valors òptims de les dues quantitats sota certes relacions entre els paràmetres del model.

In this thesis we propose a mathematical framework to analyse the dynamics of microorganisms growing within the guts of animals. Such a framework consists of a hyperbolic system of PDEs with non-linear reaction terms and certain boundary conditions that link the microbes in the environment with those inside the hosts.

In chapter 1 we solve the Abstract Cauchy Problem associated to the model by considering the semilinear formulation on a certain Banach space X. The semilinear structure of the system obtained in this way is special because, on the one hand, the evolution law can be expressed as the sum of a linear unbounded operator and a non-linear Lipschitz function (which is typical) but, on the other hand, the non-linear perturbation takes values not in X but on a larger space Y which is related to X (which is atypical). In order to deal with this situation we use the theory of dual semigroups. Stability results around steady states are also given when the nonlinear perturbation is Fréchet differentiable. These results are based on two propositions: one relating the local dynamics of the non-linear semiow with the linearised semigroup around the equilibrium, and a second relating the dynamical properties of the linearised semigroup with the spectral values of its generator. The later is proven by showing that the Spectral Mapping Theorem always applies to the semigroups one obtains when the semiow is linearised.

In chapter 2 an autonomous semi-linear hyperbolic pde system for the proliferation of bacteria within a heterogeneous population of animals is presented and analysed. It is assumed that bacteria grow inside the intestines and that they can be either attached to the epithelial wall or as free particles in the lumen. A condition involving ecological parameters is given, which can be used to decide the existence of endemic equilibria as well as local stability properties of the non-endemic one. Some implications on phage therapy are addressed. In chapter 3 the basic reproduction number associated to the bacterial population, i.e. the expected number of daughter cells per bacterium, is given explicitly in terms of biological parameters. In addition, an alternative quantity is introduced based on the number of bacteria produced within the intestine by one bacterium originally in the external media. The latter depends on the parameters in a simpler way and provides more biological insight than the standard reproduction number, allowing the design of experimental procedures. Both quantities coincide and are equal to one at the extinction threshold, below which the bacterial population becomes extinct. Optimal values of both reproduction numbers are derived assuming parameter trade-offs.