Contribuciones a la dependencia y dimensionalidad en cópulas

Abstract

El concepto de dependencia aparece por todas partes en nuestra tierra y sus habitantes de manera profunda. Son innumerables los ejemplos de fenómenos interdependientes en la naturaleza, así como en aspectos médicos, sociales, políticos, económicos, entre otros. Más aún, la dependencia es obviamente no determinística, sino de naturaleza estocástica. Es por lo anterior que resulta sorprendente que conceptos y medidas de dependencia no hayan recibido suficiente atención en la literatura estadística. Al menos hasta 1966, cuando el trabajo pionero de E.L. Lehmann probó el lema de Hoeffding. Desde entonces, se han publicado algunas generalizaciones de este. Nosotros hemos obtenido una generalización multivariante para funciones de variación acotada que agrupa a las planteadas anteriormente, al establecer la relación entre los planteamiento presentados por Quesada-Molina (1992) y Cuadras (2002b) y extendiendo este último al caso multivariante. Uno de los conceptos importante en la interpretación estadística esta relacionada con la dimensión. Es por eso que hemos definido la dimensionalidad geométrica de una distribución conjunta H en función del cardinal del conjunto de correlaciones canónicas de H, si H se puede representar mediante una expansión diagonal. La dimensionalidad geométrica ha sido obtenida para algunas de las familias de cópulas más conocidas. Para determinar la dimensionalidad de algunas de las copulas, se utilizaron métodos numéricos. De acuerdo con la dimensionalidad, hemos clasificado a las cópulas en cuatro grupos: las de dimensión cero, finita, numerable o continua. En la mayoría de las cópulas se encontro que poseen dimensión numerable. Con el uso de dos funciones que satisfacen ciertas condiciones de regularidad, se ha obtenido una extensión generalizada para la cópula Gumbel-Barnett, a la que hemos deducido sus principales propiedades y medidas de dependencia para algunas funciones en particular. La cópula FGM es una de las cópulas con más aplicabilidad en campos como el análisis financiero, y a la que se le han obtenido un gran número de generalizaciones para el caso simétrico. Nosotros hemos obtenido dos nuevas generalizaciones. La primera fue obtenida al adicionar dos distribuciones auxiliares y la segunda generalización es para el caso asimétrico. En está última caben algunas de las generalizaciones existentes. Para ambos casos se han deducido los rangos admisibles de los parámetros de asociación, las principales propiedades y las medidas de dependencia. Demostramos que si se conocen las funciones canónicas de una función de distribución, es posible aproximarla a otra función de distribución a través de combinaciones lineales de las funciones canónicas. Como ejemplo, consideramos la cópula FGM en dos dimensiones, en el sentido geométrico, debido a que se conocen sus funciones canónicas, y hemos comprobado numéricamente que su aproximación a otras cópulas con dimensión numerable es aceptablemente bueno.

Contributions to Dependence and Dimensionality in copulas

The concept of dependency is everywhere in our land and its inhabitants in a profound way. There are countless examples of interdependent phenomena in nature, or related to medical, social, political and economic aspects. Moreover, dependence is obviously non deterministic, but stochastic in nature. For this reason, it is surprising that concepts and measures of dependence have not been paid enough attention in the statistical literature; at least until 1966 when the pioneering work of E.L. Lehmann proved Hoeffding’s lemma, some generalizations of this have been released since then. We have obtained a multivariate generalization for functions of bounded variation that groups the above mentioned generalizations, by ascertaining the relation between the approaches presented by Quesada-Molina (1992) and Cuadras (2002b) and extending the latter to the multivariate case. One of the important concepts in statistical interpretation deals with dimensionality, which is why we have defined the geometric dimensionality of a joint distribution H as a function of the cardinal of the set of canonical correlations of H, if H can be represented by a diagonal expansion. The geometrical dimensionality has been obtained for some of the best known families of copulas. To determine the dimensionality of some copulas, numerical methods were used. According to the dimensionality, we have classified the copulas into four groups: the zero-, finite-, countable- or continuous-dimensional. Most of the copulas were found to possess countable dimension. With the use of two functions that satisfy certain regularity conditions, we have obtained a generalized extension of the Gumbel-Barnett copula, for which we have derived its main properties and measures of dependence, particularly for some functions. The FGM copula is one of the copulas with more applicability in fields such as financial analysis, and for which a large number of generalizations for the symmetric case have been obtained. We have obtained two new generalizations: the first was obtained by adding two auxiliary distributions and the second generalization is to the asymmetric case, in the latter some existing generalizations do fit. For both cases, the allowable ranges of association parameters, as well as the main properties and dependence measures have been deducted. We show that if the canonical functions of a distribution function are known, it is possible to approximate it to another distribution function through linear combinations of canonical functions. As an example, consider the two-dimensional FGM copula, in the geometric sense, because their canonical functions are known and we have numerically found that their approximation to other copulas with countable dimension is acceptably good.