Theories of modified gravity and reconstruction schemes of cosmological models

Abstract

En esta memoria de tesis se expone el trabajo llevado a cabo por el doctorando durante los últimos cuatro años, el cual versa principalmente sobre diversos aspectos de soluciones cosmológicas obtenidas a partir de teorías de gravedad modificada. Para entender el origen y la importancia de las teorías de gravedad modificada es necesario comentar antes algunos hechos acontecidos durante el siglo XX en el marco de la cosmología. La cosmología como ciencia nació gracias a la Teoría de la Relatividad General de Albert Einstein. Antes de ésta, el espacio no era más que el lugar en el que las estrellas y los planetas residían y el tiempo no era más que algo que iba pasando, siendo espacio y tiempo dos cosas completamente desconectadas y que no se veían afectadas por lo acontecido en el Universo. Sin embargo, la teoría de Einstein derrumbó estas ideas, proponiendo que espacio y tiempo están ligados entre sí y que, además, no son meros espectadores de lo que sucede en el Universo, sino que se ven afectados por su contenido. Fue de esta manera como surgió el concepto de espacio-tiempo, el cual, según Einstein, se curva debido a la presencia de materia y/o energía (ya unificadas en su teoría de la relatividad especial). Las ecuaciones de campo de Einstein son las ecuaciones que permiten a la cosmología ser considerada como una ciencia, y establecen un diálogo entre la forma del Universo y el contenido de materia y energía que en él hay. Las primeras soluciones cosmológicas que se dieron para el Universo eran estáticas, sin embargo éstas se desecharon cuando se verificó que la ley de expansión propuesta por Hubble era cierta. La teoría más aceptada hoy en día para describir el Universo es la Teoría del Big Bang, que predice un universo en expansión que habría empezado tras una gran explosión. Entre los logros de esta teoría se encuentran el estar de acuerdo con la ley de Hubble, haber podido predecir el fondo de radiación cósmica de microondas o el ser capaz de explicar la abundancia relativa de elementos primordiales. Sin embargo, este modelo no se encuentra exento de problemas, ya que hay ciertos aspectos que la teoría no es capaz de explicar, entre ellos se encuentran el problema de la bariogénesis (explicar el proceso que produce la asimetría encontrada entre bariones y antibariones) o los problemas de la planitud y del horizonte. Si bien es cierto que alguno de estos problemas pueden ser subsanados completando la teoría del Big Bang con otras como el modelo inflacionario, se ha demostrado que estos parches también presentan sus propios problemas. Aún así, la teoría del Big Bang está considerada como la mejor descripción que tenemos del Universo. A pesar de los pequeños o grandes problemas que aún quedaban por resolver, parecía que la cosmología estaba destinada a vivir de manera más o menos plácida. Pero esta aparente calma se vio truncada cuando, a finales del siglo XX, dos grupos liderados por Saul Perlmutter y por Adam Riess y Brian Schmidt, respectivamente, descubrieron, a partir de observaciones de supernovas de tipo Ia, que el Universo se encuentra en una fase de expansión acelerada. Esto contrasta con la visión que aporta la teoría del Big Bang, ya que según este modelo el Universo habría surgido de una gran explosión, fruto de la cual se estaría expandiendo; sin embargo, debido a la atracción gravitatoria de la masa contenida en el Universo, dicha expansión debería ir frenándose. Además, el grupo de Perlmutter determinó que, para poder explicar este hecho en el seno de la teoría del Big Bang, asumiendo un Universo espacialmente plano, la materia ordinaria y la materia oscura aportarían un 28% del total del contenido del Universo, mientras que el 72% restante debería atribuirse a un tipo de energía exótica denominada energía oscura y que ejercería una fuerza repulsiva. El descubrimiento de la expansión acelerada del Universo fue el origen del surgimiento de un gran número de teorías cuyo objetivo era darle una explicación. La más aceptada actualmente es la teoría ¿-Cold-Dark-Matter (¿CDM) la cual propone que la energía oscura no es más que una constante cosmológica que daría cuenta de la energía de vacío del Universo. Otras teorías muy populares entre los cosmólogos para dar una explicación a la energía oscura son las teorías escalar-tensor, en las cuales la aceleración se consigue mediante la introducción de un campo escalar en el lagrangiano de la teoría, de manera similar a como el inflatón consigue la aceleración en el periodo de inflación. Básicamente, las teorías comentadas hasta ahora se basan en la introducción de algún tipo de materia o energía exótica en las ecuaciones de campo de Einstein para conseguir la aceleración deseada en el Universo. Sin embargo, ésta no es la única forma de conseguir el resultado deseado. Otra manera es suponer que las ecuaciones de Einstein son válidas hasta un cierto límite, pero han de ser modificadas más allá de este. De esta forma la aceleración en la expansión no estaría causada por un tipo de materia/energía exótica, sino que sería consecuencia de las nuevas ecuaciones. A este tipo de teorías es a las que se conoce como teorías de gravedad modificada. Entre los modelos que proponen modificar las ecuaciones de Einstein, para intentar dar una explicación a la actual aceleración en la expansión del Universo, se encuentran las teorías de gravedad modificada f(R). Estas teorías se basan en la sustitución de la curvatura escalar, R, en la acción de Einstein-Hilbert por una función genérica de la misma, f(R). Esta modificación, que a priori puede no parecer especialmente traumática, se traduce finalmente en que las ecuaciones de campo derivadas de la nueva acción sean ecuaciones diferenciales no lineales de cuarto orden, en lugar de ser de segundo orden como es el caso de las ecuaciones de campo de Einstein. Una parte muy importante, si bien no es la única, de los esfuerzos realizados para llevar a cabo este trabajo de tesis se basa en el estudio de diversos aspectos de diferentes teorías de gravedad modificada f(R). Uno de los bloques fundamentales de la memoria de la tesis es aquél dedicado a la reconstrucción de soluciones cosmológicas a partir de diferentes teorías gravitatorias. El objetivo es determinar si es posible encontrar una acción que sea capaz de reproducir una cosmología, dada por su factor de escala o su función de Hubble, y, en caso afirmativo, determinar la forma de dicha acción. Esta labor se ha llevado a cabo para teorías de gravedad modificada f(R) mediante el uso de dos esquemas de reconstrucción distintos, uno basado en el uso de un campo escalar y otro en el uso de las ecuaciones de campo obtenidas a partir de la acción de la teoría f(R). En el capítulo 2 se presentarán estos esquemas de reconstrucción y se analizarán los resultados obtenidos mediante el uso de ambos para una misma cosmología dada. Posteriormente, en el capítulo 3, se extenderá el uso de estos programas de reconstrucción a modelos cosmológicos acoplados de manera mínima a campos de Yang-Mills, estudiando de nuevo lo que ocurre con las soluciones obtenidas a partir de ambos métodos para una misma cosmología. Además, se llevará a cabo el desarrollo de un programa de reconstrucción para teorías de Yang-Mills acopladas de manera no-mínima a gravedad. Para terminar con el bloque dedicado a la reconstrucción de soluciones cosmológicas, se estudiará el caso de universos cíclicos en el seno de teorías de gravedad de Horava¿Lifshitz modificada. La gravedad de Horava-Lifshitz es una teoría renormalizable, propuesta por Horava, basada en la introducción de una anisotropía entre las cordenadas espaciales y la temporal, con la cual se rompe la invariancia bajo difeomorfismos de la Relatividad General. En el capítulo 4, se hará uso de los métodos de reconstrucción estudiados anteriormente para reconstruir un universo cíclico en el seno de teorías de gravedad de Horava¿Lifshitz modificada, dichas teorías se obtienen mediante una generalización del modelo de Horava-Lifshitz, de manera similar a como se obtienen las teorías f(R) a partir de la acción de Einstein-Hilbert. El estudio de la historia cósmica, y del crecimiento de las perturbaciones de densidad de materia, para diversos modelos f(R) viables constituye otra de las partes fundamentales de esta memoria de tesis. Debido a la arbitrariedad de la función f(R), existen infinitas teorías de este tipo, tantas como funciones que se puedan proponer; sin embargo, no todas ellas son viables, para ello han de cumplir con una serie de condiciones, como pueden ser pasar los tests de Sistema Solar y tener un acoplo gravitacional efectivo positivo. En el capítulo 5 se hará un estudio de la historia cósmica para dos modelos viables. Se analizarán numéricamente las oscilaciones de alta frecuencia de energía oscura producidas durante la época de dominación de materia, las cuales pueden producir algunas divergencias. Es por ello que se propondrán unos términos correctivos para los modelos que ayudarán a estabilizar estas oscilaciones sin hacer perder la viabilidad a los modelos. Para estas nuevas teorías se hará un estudio de la evolución que tendrían en el futuro y, además, se analizará de manera exhaustiva la historia de crecimiento de las perturbaciones de densidad de materia. Para llevar a cabo esta última tarea se determinará el índice de crecimiento para ambos modelos según tres parametrizaciones distintas. En la segunda parte del capítulo 5 se realizará un análisis de la época inflacionaria para dos modelos exponenciales. Para terminar con este bloque, en el capítulo 6, se estudiará el crecimiento de las perturbaciones de densidad de materia, de manera similar a como se hizo en el capítulo 5, para dos nuevos modelos f(R) viables. Un tercer bloque, que consta de dos capítulos, se dedica al estudio de otros aspectos importantes para las teorías gravitatorias, como es el caso del problema de la aparición de singularidades y el estudio del límite de campo débil en teorías f(R,G), siendo G el invariante de curvatura de Gauss-Bonnet. El caso de la existencia de singularidades futuras en el seno de teorías de gravedad modificada y de energía oscura es tratado en el capítulo 7, en el cual también se dará una clasificación de las mismas dependiendo de la magnitud causante de la divergencia. Si bien es cierto que, para tratar de manera rigurosa el tema de las singularidades, es necesaria una teoría cuántica de la gravedad, de la que aún hoy carecemos, también es importante intentar encontrar escenarios naturales a nivel clásico o semiclásico que sean capaces de curar la aparición de estas singularidades. En el capítulo 7 se propondrá una posible cura para este problema, la cual está basada en la adición de un término R^2 en el Lagrangiano de la teoría. Tras este análisis del problema de la aparición de singularidades en el seno de distintas teorías gravitatorias, en el capítulo 8 se afronta el estudio del límite de campo débil para las teorías de gravedad modificada f(R,G). Hasta finales del siglo XX, la Relatividad General de Einstein se había mostrado como la teoría gravitatoria más fiable, debido a la excelente concordancia entre sus predicciones y los datos observacionales que se tenían en ese momento. Sin embargo, el descubrimiento del actual estado de aceleración, en el que se ve inmersa la expansión del Universo, abrió una grieta en la teoría gravitatoria de Einstein, poniendo en duda su validez a grandes escalas y en regímenes de altas energías. Aún así, los excelentes resultados a cortas escalas, como a nivel de sistema solar, de la Relatividad General hacen que el análisis del límite de campo débil de cualquier teoría gravitatoria sea muy relevante, ya que éstas deberían ser capaces de reproducir los resultados obtenidos por la Relatividad General para pequeñas escalas. De esta manera, el estudio del límite de campo débil puede ser usado para desechar o seguir teniendo en consideranción una teoría gravitatoria. En el capítulo 8, se calcularán los límites Newtoniano, post-Newtoniano y post-post-Newtoniano de las teorías f(R,G); además, el límite Newtoniano se resolverá a partir de funciones de Green. Para finalizar con el capítulo se presentarán los límites Newtoniano, post-Newtoniano y post-post -Newtoniano para dos casos especiales, las teorías f(R) y f(G).} La memoria de la tesis finaliza con un bloque dedicado a las conclusiones generales obtenidas y a las cuestiones que quedan abiertas para un trabajo futuro.