Cosmological perturbations including matter loops. A study in de Sitter

Abstract

In this thesis we studied quantum effects in de Sitter space coming from the interaction of gravitons and matter. We derived the lowenergy effective action for metric perturbations which includes corrections from matter loops, in a flat background for scalar fields of arbitrary mass and minimal curvature coupling, and in a de Sitter background for massless scalar fields of minimal and conformal coupling.

From this action we derived the semiclassical Einstein equations, which in this case give a small correction to the relation between the cosmological constant and the Hubble constant. To study the stability of the de Sitter background, we derived the equations satisfied by general linear metric perturbations, using the order reduction method which in contrast to a strictly perturbative treatment produces solutions that are reliable for extended periods of time. We solved these equations for an initial vacuum state and for general initial states. In both cases, the induced changes in the Riemann tensor, which is a gauge invariant and local observable, are small and vanish in the infinite future. In this way, we extended the classical nohair theorems of de Sitter space to the quantum case.

We calculated also the two-point function of these perturbations, using a generalization of the flat-space iε prescription that permitted us to define an interacting vacuum state ε in the infinite past. From this correlation function, we obtained a cosmological observable, the power spectrum of tensorial perturbations. The size of the quantum corrections is too small to be measured, being appreciable only if the Hubble constant were of a magnitude comparable to the Planck scale, where the effective theory ceases to be valid.

As a local observable, we calculated the two-point function of the Riemann tensor. The result was decomposed into correlation functions of the Weyl and Ricci tensors and the Ricci scalar, which are de Sitter invariant, showing that there is no physical breaking of this invariance. The twopoint function decay exponentially for large separations, showing that the background curvature acts as an effective mass for the graviton.

To generalize these calculations to the interaction with other kinds of matter, we exploited the Bianchi identities to show that the two-point function of the Riemann tensor always is de Sitter invariance if this is the case for the stress-energy tensor. We gave explicit formulas to calculate it, and saw that the result is completely determined except for an integration constant. This constant can naturally be interpreted as the strength of free gravitons which propagate in the background spacetime, and depends on the unknown coefficients that multiply terms in the gravitational action which involve squares of curvature tensors.

En esta tesis estudiamos efectos cuánticos en el espacio-tiempo de Sitter debidos a la interacción de gravitones y materia. Derivamos la acción efectiva de energía baja para las perturbaciones de la métrica que incluye las correcciones de lazos de materia, en un fondo plano para campos escalares mínimamente acoplados y con masa arbitraria, y en un fondo de Sitter para campos escalares sin masa, mínimamente y conformemente acoplado.

De esta acción derivamos las ecuaciones semiclásicas de Einstein, que en este caso dan una pequeña corrección a la relación entre la constante cosmológica y la constante de Hubble. Para estudiar la estabilidad del fondo de Sitter, derivamos las ecuaciones que satisfacen las perturbaciones linealizadas generales de la métrica, empleando el método de reducción del orden que en contraste a un tratamiento estrictamente perturbativo produce soluciones que son fiables por un tiempo extendido. Resolvimos estas ecuaciones para un estado inicial de vacío y para estados iniciales generales. En ambos casos, los cambios inducidos en el tensor de Riemann, que es un observable invariante gauge y local, son pequeños y desaparecen en el futuro infinito. Extendimos así los teoremas clásicos llamados “sin pelo” del espacio-tiempo de Sitter al caso cuántico.

Calculamos también la función de dos puntos de estas perturbaciones, usando una generalización de la prescripción y del espacio-tiempo plano que nos permite definir un ε estado de vacío con interacción en el pasado infinito. De esta función de correlación, obtuvimos un observable cosmológico, el espectro de potencia para las perturbaciones tensoriales. El tamaño de las correcciones cuánticas es demasiado pequeño para ser medido, siendo apreciable solamente si la constante de Hubble tuviera una magnitud comparable a la escala de Planck, donde la teoría efectiva deja de ser válida.

Como observable local, calculamos la función de dos puntos del tensor de Riemann. El resultado se descompone en las funciones de correlación de los tensores de Weyl y Ricci y del escalar de Ricci, que son invariante de Sitter, mostrando que no hay rotura física de dicha invariancia. La función de dos puntos decae exponencialmente para separaciones largas, mostrando que la curvatura del fondo actúa como una masa efectiva para el gravitón.

Para generalizar estos cálculos a la interacción con otros tipos de materia, explotamos las identidades de Bianchi para demostrar que la función de dos puntos del tensor de Riemann siempre es invariante de Sitter si lo es para el tensor de energía-momento. Dimos formulas explícitas para calcularla, y vimos que el resultado está completamente determinado salvo una constante de integración. Esta constante naturalmente se puede interpretar como potencia de gravitones libres que se propagan en el espacio-tiempo de fondo, y depende de los coeficientes desconocidos que multiplican a los términos en la acción gravitatoria que involucran cuadrados de tensores de curvatura.