Càlcul de variacions estocàstic en els espais de Wiener i de Poisson: aplicació a la regularitat del suprem i del temps local

Abstract

El treball de recerca que recull aquesta memòria s'emmarca dins del càlcul estocàstic de variacions i el càlcul estocàstic anticipatiu. La memòria es divideix en quatre capítols. Al primer (de preliminars) s'introdueixen els conceptes d'espai gaussià i la propietat esencial de descomposición ortogonal dels funcionals de quadrat integrable sobre l'espai gaussià. Per poder generalitzar aquest resultat, s'introdueix l'estructura d'espai de Fock, que és l'estructura algebraïca subjacent a tot espai descomposable en suma de sub-espais ortogonals. Per altra banda, en aquest marc s'introdueixen els operadors de creació i d'anihilació, que generalitzen els operadors gradient i integral de Skorohod sobre l'espai de Wiener.<br/><br/>Al segon capítol s'estableix un càlcul estocàstic en l'espai de Poisson. Als darrers anys s'han realitzar diverses aproximacions al problema. L'aproximació que aquí presentem es basa en l'estructura d'espai de Fock; en concret, es fa una interpretació dels operadors de creació i d'anihilació intrínseca en l'espai de Possion, així com una fòrmula d'integració per parts. <br/><br/>Al capítol tercer, s'aplica el càlcul estocàstic de variacions segons el punt de vista de Milliavin a l'estudi de la continuïtat absoluta de la "llei del màxim" d'un procés continu. S'obtenen resultats que milloren els resultats clàssics. <br/><br/>Per últim, al capítol quart, i seguint el punt de vista de Watanabe del càlcul estocàstic de variacions, s'estudia la regularitat del temps local browmnià com a funcional sobre l'espai de Wiener. En particular, s'analitza a quins espais de Sobolev D-alfa-P pertany, per la qual cosa s'estudia previament la regularitat de funcionals generalitzats com a Delta X(W(H)). Els resultats obtinguts milloren els coneguts fins al moment.

El trabajo de investigación que recoge la presente memoria se enmarca en el cálculo de variaciones estocástico y en el cálculo estocástico anticipativo. La memoria se divide en cuatro capítulos. En el primero, de preliminares, se introducen el concepto de espacio gaussiano y la propiedad esencial de descomposición ortogonal de los funcionales de cuadrado integrable sobre el espacio gaussiano. Para generalizar este resultado se introduce la estructura de espacio de Fock, que es la estructura algebraica subyacente a todo espacio descomponible en suma de subespacios ortogonales. Por otro lado, se introducen en este marco los operadores de creación y anihilación, que generalizan los operadores gradiente y integral de Skorohod sobre el espacio de Wiener.<br/><br/>En el segundo capitulo se establece un cálculo estocástico en el espacio de Poisson. En los últimos años se han realizado distintas aproximaciones al problema. Esta aproximación se basa en la estructura de espacio de Fock. En particular se da una interpretación de los operadores de creación y anihilación intrínseca en el espacio de Poisson, así como una fórmula de integración por partes.<br/><br/>En el tercer capitulo se aplica el calculo de variaciones estocástico según el punto de vista de Malliavin al estudio de la continuidad absoluta de la ley del máximo de un proceso continuo. Se obtienen resultados que mejoran los resultados clásicos.<br/><br/>Finalmente en el cuarto capitulo, siguiendo el punto de vista de Watanabe del cálculo de variaciones estocástico, se estudia la regularidad del tiempo local browniano como funcional sobre el espacio de Wiener. En concreto, se analiza a qué espacios de Sobolev D-Alfa-P Pertenece.<br/><br/>Para ello se estudia previamente la regularidad de funcionales generalizados como Delta X(W(H)). Los resultados obtenidos mejoran los conocidos hasta el momento.