Contribución al estudio de la estructura del conjunto de negaciones definidas en un retículo

Abstract

El presente trabajo fue iniciado como un estudio de las negaciones utilizadas en las diversas lógicas, tema que fue motivado por los trabajos que sobre lógica algebraica vienen desarrollándose en el departamento de Estadística. Partimos de la definición de negación dada por el profesor F. de A. Sales Vallés, que es una aplicación entre ordenados y, en especial, entre retículos, que cumple las condiciones máximas posibles de forma que las negaciones utilizadas en las distintas lógicas sean casos particulares de la definición dada. Dichas negaciones han sido objeto, anteriormente a esta memoria, de varios trabajos de los que se han publicado los del profesor F. de A. Sales Vallés, el de J. Pla y el de F. Esteva.<br/><br/>La presente memoria parte de estos trabajos y se dedica al estudio de las negaciones en los retículos completos. En resumen, los resultados que se obtienen son los siguientes:<br/><br/>En el capítulo 1 se parte de que la imagen por una negación de un retículo completo es un inf-semirretículo completo que contiene al máximo, y se estudia si, dado cualquier inf-semirretículo que contiene al máximo, existe siempre una negación que lo tenga por imagen. La respuesta es negativa, y se dan condiciones necesarias y suficientes para que la aplicación entre negaciones e inf-semirret!oulos completos que contienen al máximo, sea inyectiva, exhaustiva o biyectiva. As! se ve que esta aplicación es una biyección si, y sólo si, el retículo es una cadena finita.<br/><br/>En el capítulo 2 se estudia el conjunto N(L) de todas las negaciones que pueden definirse en un retículo completo. En el apartado 1 se demuestra que N(L) es un retículo completo. En el apartado 2 se dan condiciones, unas necesarias y otras suficientes, para que dicho retículo sea distributivo e infinitamente distributivo. En el apartado 3 se demuestra que la condición necesaria y suficiente para que el retículo sea un álgebra de Boole es que sea atómica, resultado que se completa en el apartado 4 al demostrar que toda álgebra de Boole de negaciones es atómica, así como al hallar la posición ocupada por la complementación del álgebra de Boole en el retículo de las negaciones. Por último, en el apartado. 5 se halla una aplicación entre un álgebra de Boole y el retículo de sus negaciones que es un monomorfismo reticular, y que nos permite, por tanto, sumergir toda álgebra de Boole completa en el retículo de sus negaciones.<br/><br/>En el capítulo 3 se recogen y completan diversos resultados hallados en los capítulos anteriores sobre las negaciones en las cadenas completas. Así, en el cap. 2 se da una regla para construir el supremo de dos negaciones y en este capítulo se demuestra que sólo es válida para hallar el supremo de familias finitas de negaciones. También en el cap. 2 se demuestra que si un retículo es completo, atómico y distributivo, el retículo de sus negaciones es distributivo, y en el cap. 3 al demostrar que el retículo de las negaciones de una cadena completa es siempre distributivo, se prueba que la condición dada en el cap. 2 es sólo suficiente.<br/>Por último, en una nota se da una demostración del conocido teorema de completación de Mac Neille en el caso de cadenas, utilizando los retículos de negaciones.