Estudio de la dinámica estocástica mediante tiempos de primer paso

Abstract

La caracterización de sistemas por medio de sus tiempos característicos es sujeto de investigación tanto teórica como experimental. Posiblemente el tiempo característico más conocido y más ampliamente utilizado es el Tiempo Medio de Primer Paso [MFPT]. Este tiempo se define como el promedio sobre muchas realizaciones del tiempo en el que el sistema cruza por primera vez una frontera previamente establecida.<br/><br/>El presente trabajo se centra en el problema de las escalas de tiempo de ciertos tipos de procesos bastante generales, dentro del contexto de los Procesos Estocásticos. En particular, utilizaremos el formalismo del MFPT en los siguientes sistemas: paso a través de una barrera en un potencial biestable, paso a través de una inestabilidad marginal, y relajación de un modelo con ruido multiplicativo en un sistema químico.<br/><br/>Los resultados obtenidos en el estudio de estos sistemas han sido los siguientes:<br/><br/>1) MFPT en un Sistema Biestable (Cap. II). <br/><br/>Se ha realizado una exhaustiva serie de simulaciones de este sistema para un amplio rango de variación de los parámetros del ruido. Los resultados se han comparado con las teorías existentes para los MFPT, estableciendo el dominio de aplicabilidad de cada una de ellas.<br/><br/>Se ha elaborado la teoría de la dinámica para "tau" grande pero finito, obteniendo la causa de la discrepancia de la Teoría del Potencial Fluctuante con los resultados de la simulación. El resultado más importante ha sido una ley de escala para el MFPT en este régimen.<br/><br/>2) MFPT de un sistema marginal (Cap. III).<br/><br/>Se ha obtenido la primera contribución en "tau" de los primeros momentos del Tiempo de Primer Paso para el modelo marginal (Ec. (2.3) del Cap. III) tanto para el caso "beta" = 0 (marginal puro) como para "beta" distinto de 0. Los resultados se han aplicado a la predicción del comportamiento de un modelo de Biestabilidad Óptica.<br/><br/>Además, se ha desarrollado la extensión de los resultados de los MFPT de inestabilidades lineales y marginales a valores grandes del tiempo de correlación. En el caso lineal, el resultado incluye la aproximación QDT, pero no esta limitado a intensidades pequeñas del ruido. En todos los casos las predicciones teóricas han sido confirmadas por la simulación numérica.<br/><br/>3) Dinámica estocástica de una reacción química (Cap. IV).<br/><br/>Se ha establecido el modelo dinámico de la reacción Clorito-Ioduro, mediante una Ecuación Diferencial Estocástica en la que el ruido da cuenta de las inhomogeneidades espaciales. Para tal modelo se ha calculado a primer orden en D el MFPT y su varianza.<br/><br/>La correspondencia entre el experimento y el modelo se ha establecido determinando la relación entre las respectivas escalas de tiempo, y correlacionando la intensidad del ruido con el inverso del <i>stirring</i> experimental. Los resultados analíticos y de simulación del modelo presentan un buen acuerdo con las magnitudes medidas experimentalmente. Se ha encontrado así mismo el comportamiento cualitativo correcto de la magnitud relativa DeltaT/T.<br/><br/>4) Conclusiones.<br/><br/>Para las conclusiones específicamente relacionadas con cada uno de los sistemas estudiados nos remitimos al cuerpo de la Tesis. No obstante, podemos extraer una serie de conclusiones de índole mis general, relacionadas con la temática de los Tiempos de Paso y el problema del tiempo de correlación del ruido.<br/><br/>El problema correspondiente a sistemas sometidos a la acción de ruido blanco o con tiempo de correlación pequeño se considera resuelto, si bien aún puede quedar la tarea de establecer en cada caso los modelos apropiados y relacionar los resultados con las magnitudes experimentales.<br/><br/>En el caso de ruidos con grandes tiempos de correlación la fundamentación teórica no se encuentra totalmente desarrollada, y falta todavía el establecimiento de métodos sistemáticos de cálculo. En este estado de cosas, las leyes obtenidas mediante razonamientos físicos cobran un especial valor, puesto que proporcionan resultados numéricos fuera del rango de parámetros accesibles por las técnicas usuales, y dan una interpretación de la física involucrada en el proceso estudiado.

<I>An analysis of the effects of the noise on the time scale of very general physical processes is carried out in the context of the Mean First Passage Time [MFPT] techniques. Special attention is devoted to the correlation time of the noise, and to the highly coloured noise regime. The three processes studied are: the pass through a potential barrier in a bistable system, the relaxation near of marginality, and a model with multiplicative noise from a chemical system,<br/><br/>For the bistable system under the effect of coloured noise, a precise digital simulation is carried out. The results are interpreted and compared with presently available theories, which are revisited following a new insight. Discrepancies that have been discussed in the literature are understood within our framework. The Fluctuating Potential Theory is extended to large but finite correlation time of the noise, and a scaling law is obtained for the corresponding MFPT.<br/><br/>For the process of pass through a marginal state, the first correction to the white noise result of the MFPT is obtained by using cuasimarkovian approximations. A new theory which allows the extension of these results to large values of the correlation time of the noise is developed, obtaining a universality law. The results are valid for a wide range of systems.<br/><br/>Finally, the MFPT framework is used to analyze the irreproducibility of the observed reaction times in the chloriteiodide dock reaction. Analytical and simulation results are obtained for the first moments of the reaction time distribution. These results are compared with recent experimental data obtained by Nagipal and Epstein. </i>