Inversión bidimensional en magnetotelúrica

Abstract

El método magnetotelúrico es una técnica muy importante dentro de los métodos geofísicos de inducción electromagnética. La sensibilidad de las medidas a la existencia de inhomogeneidades laterales hace que la interpretación unidimensional no sea la herramienta adecuada para la interpretación de estructuras geológicas complicadas. Por dicho motivo, una de las actuales líneas actuales de investigación corresponde a la elaboración de algoritmos de modelización numérica de estructuras conductoras bi- y tridimensionales.<br/><br/>En este trabajo, presentamos un algoritmo de inversión bidimensional cuyo objetivo fundamental es la determinación de la forma de la frontera entre los diferentes conductores que caracterizan al medio.<br/><br/>En este proceso, para conseguir una mayor simplicidad sin perder generalidad, hemos trabajado con modelos de dos medios y una frontera entre ambos a determinar.<br/><br/>El problema ha sido abordado imponiendo que la frontera está descrita por una función expresable de forma analítica (f(y,z;p)= 0), de manera que los parámetros p de la curva son los parámetros del modelo bidimensional. Ello permite describir el modelo mediante un número reducido de parámetros, con lo cual se consigue una mayor estabilidad en la resolución del problema inverso.<br/><br/>El trabajo ha estado estructurado básicamente en tres unidades.<br/><br/>En la primera se ha revisado y descrito los fundamentos físicos del método magnetotelúrico.<br/><br/>En la segunda se presenta el proceso de elaboración de un algoritmo de modelización basado en la resolución de las ecuaciones diferenciales mediante el método de los elementos finitos (MEF) para su utilización posterior en el problema inverso. El algoritmo ha sido comprobado utilizando el modelo de control de Weaver, LeQuang y Fischer, y ofrece unos resultados satisfactorios. De forma complementaria, se ha realizado un estudio de los efectos provocados por los accidentes topográficos asociados a formas simples y, de esta manera, estimar sus consecuencias.<br/><br/>Los accidentes topográficos considerados han sido el de una cadena montañosa y el de un valle, para ambas polarizaciones E y H, y para perfiles de resisitividad aparente y de fase. Se ha observado que sus efectos son importantes en las proximidades de los cambios de pendiente y decrecen rápidamente al alejarse de los mismos. Igualmente se ha estudiado la proximidad de un mar cerrado y se observa una región para la que hay un cambio de comportamiento de los perfiles, que está originado por el hecho de que el mar sea cerrado.<br/><br/>La tercera unidad del trabajo corresponde al problema inverso. En ella se describe, en primer lugar, el proceso de inversión utilizado, que está basado en los estimadores bayesianos que permiten introducir de forma natural la información a priori, dada por la geología u otros datos geofísicos. La no linealidad del problema provoca que la resolución del problema inverso se realice mediante un proceso iterativo. El comportamiento del mismo ha sido ampliamente comprobado para problemas unidimensionales.<br/><br/>La realización del proceso iterativo para la resolución del problema inverso bidimensional implica el desarrollo de dos partes importantes para el mismo: el generador de mallas y el cálculo de la matriz de sensibilidad. <br/><br/>El primero surge del hecho de que los parámetros del modelo son los parámetros de la curva que describe la frontera, y éstos cambiarán de una iteración a otra, por consiguiente, también se modificará la geometría del problema. Para que el proceso sea automático es preciso disponer de un generador de mallas. Su elaboración ha seguido el siguiente criterio: se construye en primer lugar una malla rectangular; a continuación, se deforma en las proximidades de la frontera, de manera que la curva que describe la frontera corte a la malla únicamente en los nudos; finalmente se unen dichos nudos, con lo que la frontera queda representada por una línea quebrada. Ello permite trabajar con elementos triangulares de conductividad constante.<br/><br/>Por otra parte, en el algoritmo de inversión empleado es necesario calcular la matriz de sensibilidad del modelo para obtener el nuevo modelo a partir del antiguo. Dado que la resolución del problema directo se ha efectuado de forma numérica, esta matriz se ha de calcular de forma igualmente numérica. El proceso consiste en la resolución de tantos sistemas de ecuaciones lineales similares al obtenido al aplicar el MEF en la resolución del problema directo, como parámetros tenga el modelo. Para cada uno de ellos, únicamente es preciso calcular el término independiente del sistema de ecuaciones, porque la matriz del sistema coincide con la del problema directo. Además, el hecho de que la curva que describe la frontera se puede expresar de forma analítica permite calcular el término independiente de la ecuación de forma asimismo analítica. Todo ello lleva a una importante reducción en el tiempo de resolución del problema inverso.<br/><br/>Dado que la matriz de sensibilidad es una pieza fundamental en el proceso de inversión, hemos estudiado su comportamiento frente a las características de la malla (tamaño de los elementos, proximidad de la frontera lateral) y hemos comprobado que sus efectos no son importantes.<br/><br/>Finalmente, como comprobación del algoritmo, mostramos algunos ejemplos de inversión a partir de datos generados sintéticamente. Los modelos utilizados, y que pueden simular diferentes estructuras geológicas, han sido tres: el de una frontera descrita por una curva gaussiana, el una frontera descrita por una función salto inclinado y el de la frontera descrita por una elipse. En todos los casos se ha comprobado el adecuado funcionamiento del generador de mallas. En los mismos se observa la convergencia satisfactoria del algoritmo de inversión para los diferentes modelos y su correcto funcionamiento cuando se incorpora información a priori.

The MT method studies the conductive structure of the Earth's interior. The fact that this technique is strongly influenced by lateral inhomogeneities suggests the use of two- or three-dimensional models.<br/><br/>In this work, we present an algorithm of 2-D inversion directed to those problems where the unknown is the shape of the boundary between different conductors. The way we use the inversion is considering that this shape can be described by analytical functions. This achieves a reduction of the number of parameters and provides a better stability of the inversion algorithm. This algorithm is based on Bayessian estimators that let us to introduce a priori information in a natural way.<br/><br/>As an important part of this process we have developed the forward problem used by the inversion algorithm. It is performed numerically by the finite element method. As a complement of it, we have studied simple topographic effects: a range, a valley and the coast effect.<br/><br/>The automatic inversion relies on two process, that we also describe and study: the mesh generator, that builds the mesh automatically in every iteration, and the sensibility matrix, that is necessary to calculate the new models from the old ones, which is obtained numerically.<br/><br/>We present different examples with synthetic data that allow us to study the performance of the algorithm for simple shaped boundaries between media (Gaussian, ellipse and sloping step) that simulate different geological models. The results show that the algorithm works properly with and without a priori information.