Lògica i fonaments: 1850-1920. Un estudi comparatiu de les contribucions del corrent algèbric i logicista a la lògica contemporània

Abstract

L'objectiu principal del nostre estudi ha estat, en primer lloc, fer una "història de la lògica" que abastés el període que va aproximadament des de mitjans del segle XIX, època en què Boole i De Morgan renoven la lògica tradicional, fins als anys vint del segle passat, quan la lògica de primer ordre es consolida com el llenguatge lògic "par excellence" i la concepció model-teorètica s'obre camí de forma inexorable. Segonament, el nostre objectiu ha estat fer un estudi comparatiu de les contribucions del corrent algèbric i logicista a la gènesi i desenvolupament de la lògica contemporània, particularment de la lògica de primer ordre i de la concepció model-teorètica predominant avui en dia. Al nostre parer, el naixement i desenvolupament de la lògica contemporània ha anat de bracet amb les recerques sobre els fonaments de les matemàtiques dutes a terme en el període estudiat, per la qual cosa el nostre objectiu ha estat finalment fer-nos ressó de l'estret lligam entre els problemes relatius a la fonamentació de les matemàtiques i les recerques lògiques pròpiament dites. <br/><br/>D'acord amb tot l'anterior, hem dividit la nostra memòria en tres parts. Les dues primeres parts les hem dedicades respectivament a l'estudi del desenvolupament de la tradició algèbrica i logicista i estan dividides en diferents capítols, dedicat cada un d'ells als autors més representatius d'aquestes dos corrents: Boole, Peirce i Schröder, d'una banda, i Dedekind, Frege i Russell de l'altra. Finalment, la tercera part l'hem dedicada als desenvolupaments més importants que seguiren la publicació de l'obra de Whitehead i Russell <i>Principia Mathematica</i> (1910-1913) i que més influència tingueren, des del nostre punt de vista, en el desenvolupament posterior de la lògica, a saber, les recerques de Hilbert i la seva escola sobre l'aplicació del mètode axiomàtic a les diferents branques de les matemàtiques i, en particular, a la lògica, i les recerques model-teorètiques de Löwenheim i Skolem sobre el fragment de primer ordre de la lògica de relatius. Aquestes recerques tingueren efectivament una influència cabdal en la gènesi i desenvolupament de la lògica de primer ordre i la concepció model-teorètica predominant avui en dia, per la qual cosa el seu estudi presenta un indubtable interès històric i dóna, a més, una bona mesura de les contribucions de les tradicions algèbrica i logicista a la lògica contemporània i, en particular, de les limitacions que presenten en aquest sentit ambdues tradicions. <br/><br/>Entre les contribucions més destacades del nostre estudi per tal de determinar quines han estat les aportacions dels diferents autors estudiats a la gènesi i desenvolupament de la lògica contemporània i la moderna concepció semàntica de la mateixa cal destacar, entre d'altres, l'estudi realitzat sobre l'evolució de la lògica de relatius i la lògica quantificacional -de primer i segon ordre- en l'obra de Peirce, l'estudi sobre les definicions dels principals conceptes semàntics -interpretació, conseqüència lògica, independència, etc.- en l'obra de Schröder, l'estudi sobre la gènesi i evolució del logicisme fregeà a partir de la seva tesi de doctorat (1873) i la seva <i>Habilitationschrift</i> (1874), una interpretació de la teoria ramificada de tipus de Russell que no és l'habitual en la historiografia clàssica (Copi, Quine, Kneale i Kneale et alia), l'estudi de la connexió de la problemàtica tractada en els escrits de Löwenheim i Skolem amb el programa de recerca iniciat per Peirce i Schröder i, finalment, l'estudi de l'evolució en el si de l'escola de Hilbert d'algunes de les idees bàsiques de la lògica contemporània i la moderna concepció model-teorètica de la mateixa a partir de l'estudi de les lliçons (inèdites) impartides per Hilbert a Göttingen els cursos de 1905 i 1917-18.

<i>As its title indicates, this work intends to make a historical itinerary by some of the main developments that took place in the field of logic and the foundations of the mathematics between the second half of the 19th century and the first fourth of the 20th century approximately. Moreover, it pretends also to make a comparative study of the development of the algebraic and logicist traditions in this period that allows to gauge the contributions of each one of them to the genesis and development of contemporary logic and the modern model-theoretic conception of it. With this aim, the most highlighted contributions of our work are, among others, the study carried out about the evolution and relationship of the logic of relatives and quantificational logic -of first and second order- in Peirce's work, the research into the definitions of the main semantic concepts -interpretation, logical consequence, independence, etc- in Schröder's work, the study of the genesis and evolution of fregean logicism from his doctorate thesis (1873) and his "Habilitationschrift" (1874), an interpretation of Russell's theory of types which it is unusual in the classical historiography, the research into the connection of the problems treated in Löwenheim and Skolem writings with the program of research pioneered by Peirce and Schröder and, finally, the study of the evolution in the bosom of Hilbert's school of some of the main ideas of contemporary logic and metalogic from the study of the lessons (unedited) imparted by Hilbert in Göttingen in the courses of 1905 and 1917-18. </i>