Procesos puntuales en el plano y parada óptima

Abstract

Esta memoria abarca esencialmente dos temas. Por una parte contiene la resolución del problema de parada óptima en varias situaciones distintas. Por otra se dedica a un profundo estudio de los procesos puntuales en el plano, con un número finito o infinito numerable de puntos.

La formulación clásica del problema de parada óptima en tiempo discreto (siguiendo las ideas de [1]) puede presentarse como sigue.

Sea {Z(n),n que pertenece a “In”} una familia de variables aleatorias que representan, por ejemplo, las ganancias de un jugador en instantes sucesivos. Para cada tiempo de paro T, la variable aleatoria Z(T) representa la ganancia obtenida por el jugador, al parar de jugar en el instante T. El problema de parada óptima consiste en encontrar un tiempo de paro T* tal que alcance el supremo de las ganancias esperadas por el jugador, que decide abandonar el juego en ese instante, es decir, encontrar un tiempo de paro T* que le diremos óptimo, tal que E(Z(T*)) = sup {E(Z(T), T tiempo de paro}. Los tres primeros capítulos de esta memoria tratan del problema de parada óptima. En el primero construimos una solución del problema de parada óptima para el caso de procesos con índice discreto unidimensional y con una clase de tiempos de paro satisfaciendo las condiciones exigidas en [2]. Dicha construcción la hacemos mediante una técnica de cambio de tiempo que simplifica los métodos utilizados en [2]. Además, utilizando la misma técnica precedente resolvemos un problema similar para procesos con índice bidimensional discreta, caso no tratado en [2]. También damos ejemplos concretos que ponen de manifiesto la existencia de tales clases.

En el segundo capítulo, damos en el caso unidimensional continuo una demostración propia de la caracterización de los tiempos de paro como los elementos extremales del conjunto de variables aleatorias «floues» adaptadas, y mostramos cómo permite esta caracterización resolver el problema de parada óptima. En el caso bidimensional continuo, como contribución al estudio de si una tal caracterización es posible para los puntos de paro, demostramos que éstos son las variables aleatorias «floues», que son los elementos extremales del conjunto imagen por el operador de proyección opcional del conjunto de variables aleatorias «floues».

En el tercer capítulo, resolvemos el problema de parada óptima para un proceso, imagen de una familia markoviana bidimensional, construida a partir de dos procesos de Markov, soluciones de sendas ecuaciones diferenciales estocásticas.

En la segunda parte de la memoria, expuesta en el capítulo cuarto, nos centramos en los procesos puntuales en el plano.

En el caso de dos parámetros, aparte de algunos tipos concretos de procesos puntuales, como el de Poisson (cf. Merzbach-Nualart [3], [4]) la única referencia existente en la literatura sobre el estudio general de tales procesos se ocupa exclusivamente del caso en que el proceso puntual tiene un sólo punto (cf. [5], [6]).

El cuarto capítulo de esta memoria dedicado a los procesos puntuales con dos parámetros: tanto en el caso de tener un número finito (mayor o igual que uno) de puntos, como en el de tener un número infinito numerable de puntos. Dado un proceso puntual en estas condiciones, mostramos la forma explícita de su filtración natural asociada y estudiamos sus propiedades. Construimos la forma explícita de los procesos opcionales y de los procesos previsibles, así como de los procesos crecientes opcionales y de los procesos crecientes previsibles. Demostramos, además, que toda martingala uniformemente integrable admite una versión continua por la derecha con límites por la izquierda, no siendo cierto que una tal versión pueda tornarse Este resultado permite considerar las proyecciones opcionales y previsibles de procesos medibles y acotados, de las que estudiamos sus propiedades. También demostramos la existencia de las proyecciones duales para procesos crecientes, estudiamos sus propiedades y construimos la proyección dual previsible de un proceso creciente relativa a una probabilidad absolutamente continua respecto de la probabilidad inducida por el proceso puntual.

REFERENCIAS: [1] Neveu, J.: Processus pontuels. Lect. Notes in Math. 598 (1976). [2] Adell, J. A.: Tesis doctoral. Universidad País Vasco. Facultad de Ciencias. (Lejona.) [3] Merzbach, E., Nualart, D.: A martingale approach to point processes in the plane. (to appear in Ann. Probab). [4] Merzbach, E., Nualart, D.: A characterization of the spatial Poisson process and changing time, 1985 (to appear in Ann. Probab.). [5] AI-Hussaini, A., Elliot, J.: Filtrations for the two parameter Jump Process. Journal of multivariate analysis 16,118-139(1985). [6] Mazziotto, G. Szpirglas, J.: Un exemple d'un processus à deux indices sans l'hypothese F.4.Seminaire de Probabilities XV. Lect. Notes in Math. 850 (1979/ 1980).

In the first chapter of this thesis we construct a solution for the optimal stopping problem for discrete one parameter or two-parameter stochastic processes, with respect to a certain class L of stopping points, for example, L = {R stopping point, Z(1)</=R</=Z, with Z(1), Z(2) being two stopping points such that Z(1)</= Z(2) The results are obtained by a technique of changing the time.

In the second chapter, we give for the one parameter situation an original proof concerning the following property: every extremal element of the set of randomized stopping times is a stopping time. And we show that a solution for the optimal stopping problem is possible when this property holds. Also, in the two-parameter situation we prove that the stopping points are the elements of the set U of all randomized stopping points, which are extremal in the set P(o)(U), where P(o) is the optimal projection operator.

In the third chapter, which also deals with the optimal stopping problem, a solution is given when the process A is a function of a special bi-Markovian family, namely A(x) / (s, t) = e(-p(s+t) f(YX)(X)s), for(st)in R(2)/(+)x in R(d), p<0, and where “f” is a mesurable, bounded and uniformly continuous function on [Rd, with X, Y being the unique continuous and Markovian solutions of two stochastic differential equations associated with the d-dimensional Brownian motion, and with points of R(d) as initial values.

The plain point processes with “k” jumps, where “k” is either finite or countable, are studied in the fourth chapter. We prove that the filtration associated to the plain point process is complete, increasing and right continuous. We give a characterization of the optional and predictable processes, and for the increasing adapted and predictable processes. We also show that every uniformly integrable martingale has a right-continuous version, having limits on the left. We also define the optional and predictable projections for bounded measurable processes and the dual projections for increasing processes, and we study their properties. </i>