Computation of Normally Hyperbolic Invariant Manifolds

Abstract

The subject of the theory of Dynamical Systems is the evolution of systems with respect to time. Hence, it has many applications to other areas of science, such as Physics, Biology, Economics, etc. and it also has interactions with other parts of Mathematics.

The global behavior of a dynamical system is organized by its invariant objects, the simplest ones are equilibria and periodic orbits (and related invariant manifolds). Normally hyperbolic invariant manifolds (NHIM for short) are some of these invariant objects. They have the property to persist under small perturbations of the system. These NHIM are characterized by the fact that the directions on the points of the manifold split into stable, unstable and tangent components. The growth rate of stable directions (for which forward evolution of the system goes to zero) and unstable directions (for which backward evolution goes to zero) dominate the growth rate of the tangent directions. The robustness of normally hyperbolic invariant manifolds makes them very useful to understand the global dynamics. Both the theory and the computation of these objects are important for the general understanding of a dynamical system.

The main goal of my thesis is to develop efficient algorithms for the computation of normally hyperbolic invariant manifolds, give a rigorous mathematical theory and implement them to explore new mathematical phenomena. For simplicity, we consider the problem for discrete dynamical systems, since it is known that the discrete case implies the continuous case using time one flow. We consider a diffeomorphism F : Rm → Rm and a d-torus parameterized by K : Td → Rm which is invariant under F. This means that there exists a diffeomorphism f : Td → Td (the internal dynamics) such that it satisfies F ◦ K = K ◦ f, (0.3) called the invariance equation.

Our goal is to solve this invariance equation considering two different scenarios: one in which we do not know the internal dynamics of the invariant torus (where K and f are our unknowns), see Chapter 4, and the other in which we impose that the internal dynamics is a rigid rotation with a quasi-periodic frequency (where K is the unknown and f is the rigid rotation), for which we also need to add an adjusting parameter to equation (0.3), see Chapters 2 and 3. Additionally, in both cases we are also interested in computing the invariant tangent and normal bundles.

L’objecte d’estudi dels Sistemes Dinàmics és l’evolució dels sistemes respecte del temps. Per aquesta raó, els Sistemes Dinàmics presenten moltes aplicacions en altres àrees de la Ciència, com ara la Física, Biologia, Economia, etc. i tenen nombroses interaccions amb altres parts de les Matemàtiques.

Els objectes invariants organitzen el comportament global d’un sistema dinàmic, els més simples dels quals són els punts fixos i les òrbites periòdiques (així com les seves corresponents varietats invariants). Les Varietats Invariants Normalment Hiperbòliques (NHIM forma abreviada provinent de l’anglès) són alguns d’aquests objectes invariants. Aquests objectes posseeixen la propietat de persistir sota petites pertorbacions del sistema. Les NHIM estan caracteritzades pel fet que les direccions en els punts de la varietat presenten una divisió en components tangent, estable i inestable.

L’índex de creixement de les direccions estables (per les quals la iteració endavant del sistema tendeix cap a zero) i inestables (per les quals la iteració enrere del sistema tendeix cap a zero) domina l’índex de creixement de les direccions tangents. La robustesa de les varietats invariants normalment hiperbòliques les fa de gran utilitat a l’hora d’estudiar la dinàmica global. Per aquesta raó, tant la teoria com el càlcul d’aquests objectes sós molt importants per al coneixement general d’un sistema dinàmic.

L’objectiu principal d’aquesta tesi és desenvolupar algoritmes eficients pel càlcul de varietats invariants normalment hiperbòliques, donar-ne resultats teòrics rigorosos i implementar-los per a explorar nous fenòmens matemàtics. Per simplicitat, considerarem el problema per a sistemes dinàmics discrets, ja que és ben conegut que el cas discret implica el cas continu usant operadors d’evolució. Considerem així difeomorfismes donats per F : Rm → Rm i un d-tor F-invariant parametritzat per K : Td → Rm. És a dir, existeix un difeomorfisme f : Td → Td (la dinàmica interna) tal que satisfà l’equació F ◦ K = K ◦ f, (0.1) anomenada equació d’invariància.

La nostra finalitat és solucionar aquesta equació d’invariància considerant dos possibles escenaris: un en el qual no coneixem quina és la dinàmica interna del tor (on K i f són les nostres incògnites), veure Capítol 4, i un altre en el qual imposem que la dinàmica interna sigui una rotació rígida amb freqüència quasi-periòdica (on K és una incògnita i f és la rotació rígida), pel qual necessitarem, a més a més, afegir un paràmetre ajustador a l’equació (0.1), veure Capítols 2 i 3. En ambdós casos també estarem interessats en el càlcul dels fibrats invariants tangent i normals.