Error assessment and adaptivity for structural transient dynamics

Abstract

The finite element method is a valuable tool for simulating complex physical phenomena. However, any finite element based simulation has an intrinsic amount of error with respect to the exact solution of the selected physical model. Being aware of this error is of notorious importance if sensitive engineering decisions are taken on the basis of the numerical results. Assessing the error in elliptic problems (as structural statics) is a well known problem. However, assessing the error in structural transient dynamics is still ongoing research. The present thesis aims at contributing on error assessment techniques for structural transient dynamics. First, a new approach is introduced to compute bounds of the error measured in some quantity of interest. The proposed methodology yields error bounds with better quality than the already available approaches. Second, an efficient methodology to compute approximations of the error in the quantity of interest is introduced. The proposed technique uses modal analysis to compute the solution of the adjoint problem associated with the selected quantity of interest. The resulting error estimate is very well suited for time-dependent problems, because the cost of computing the estimate at each time step is very low. Third, a space-time adaptive strategy is proposed. The local error indicators driving the adaptive process are computed using the previously mentioned modal-based error estimate. The resulting adapted approximations are more accurate than the ones obtained with an straightforward uniform mesh refinement. That is, the adapted computations lead to lower errors in the quantity of interest than the non-adapted ones for the same number of space-time elements. Fourth, a new type of quantities of interest are introduced for error assessment in time-dependent problems. These quantities (referred as timeline-dependent quantities of interest) are scalar time-dependent outputs of the transient solution and are better suited to time-dependent problems than the standard scalar ones. The error in timeline-dependent quantities is eficiently assessed using the modal-based description of the adjoint solution. The thesis contributions are enclosed in five papers which are attached to the thesis document.

El mètode dels elements finits és una eina valuosa per a simular fenòmens físics complexos. Tot i això, aquest mètode només proporciona aproximacions de la solució exacta del model físic considerat. Per tant, quantificar l'error comés en l'aproximació és important si la simulació numèrica s'utilitza per a prendre decisions que poden tenir importants conseqüències. Actualment, les eines que permeten avaluar aquest error són ben conegudes per a problemes estacionaris, però encara presenten importants limitacions per a problemes transitoris com la dinàmica d'estructures. L'objectiu d'aquest treball és contribuir a millorar les tècniques existents per estimar l'error en dinàmica d'estructures i proposar-ne de noves. La primera contribució és una nova metodologia per a calcular cotes de l'error en una quantitat d'interès del problema. Les cotes proposades són més precises i proporcionen una millor estima de l'error que les cotes calculades amb tècniques prèvies. La segona contribució és una una nova tècnica que proporciona aproximacions de l'error en una quantitat d'interès utilitzant càlculs eficients. La novetat principal d'aquesta proposta és aproximar la solució del problema adjunt associat a la quantitat d'interès utilitzant l'anàlisi modal. El resultat és un estimador de l'error indicat particularment per a problemes transitoris, ja que el cost de calcular l'estimador a cada pas de temps és molt baix. La tercera contribució és una tècnica que permet construir de manera adaptada tant la discretizació temporal com espacial amb l'objectiu de millorar l'eficiència de la simulació. Aquesta tècnica es basa en la informació proporcionada per l'estima de l'error amb anàlisi modal. Les aproximacions calculades utilitzant les discretitzacions adaptades són més precises que les obtingudes amb un simple refinament uniforme de la malla de càlcul. És a dir, les discretitzacions adaptades proporcionen un error en la quantitat d'interès menor que les discretizacions no adaptades per al mateix nombre d'elements espai-temps. Finalment, la quarta contribució és un nou tipus de quantitats d'interès especialment indicades per a estimar l'error en problemes transitoris. Aquest nou tipus de quantitats són funcions escalars dependents del temps que proporcionen una informació més completa sobre l'error en problemes transitoris que les quantitats d'interès estàndard. L'error en aquestes noves quantitats és estimat eficientment utilitzant la descripció modal de la solució del problema adjunt. Les contribucions d'aquest treball es troben recopilades en cinc articles que s'inclouen adjunts en el document de la tesi.