Aproximación en diferentes normas por módulos racionales en compactos del plano complejo

Abstract

DE LA TESIS:<br/><br/>La aproximación por funciones holomorfas de una variable compleja, en diferentes normas, es un tema central del análisis complejo clásico. Sin embargo, sólo recientemente se han obtenido soluciones completas de dichos problemas. <br/><br/>La estructura de la memoria es la siguiente: cada capítulo ha sido dividido en parágrafos. Las referencias a resultados de la memoria se hacen mediante tres dígitos. El primer indica el capítulo, el segundo el parágrafo y el tercero el resultado concreto. Las referencias a trabajos citados en la bibliografía se hacen mediante un número encerrado entre corchetes. El símbolo "//." indicará el fin de las demostraciones. <br/><br/>La tesis comienza con un capítulo previo (Capítulo 0), donde se resumen algunos de los resultados y definiciones en que se basa de la memoria. El Capítulo 1 introduce los recursos necesarios para estudiar la aproximación uniforme por funciones del módulo R(o)X + g(R) (X), entre los que destacan las fórmulas integrales 1.2.1. y 1.2.3., que son de gran importancia en la presente memoria, y las transformadas de medidas 1.1.1. Para sistematizar adecuadamente la exposición hemos invertido el orden de presentación. El resultado principal es el teorema 1.5.1., que resuelve completamente este problema de aproximación en el caso X = nulo.<br/><br/>El capítulo 2 estudia algunas condiciones de pertenencia a R(g)(X). En este aspecto los resultados más interesantes son 2.1.1 y 2.2,1. No se ha logrado dar una caracterización completa de R^(X), válida para toda g y para todo X. El resultado central es el teorema 2.3.4. análogo al de aproximación uniforme por polinomios de Mergelyan 0.1.13. Este teorema caracteriza R-(Z){X) para amplias clases de compactos. El capítulo acaba con una generalización, de algunos resultados, aplicable a los módulos R(o)(X) + R(o)(X)Z +. R(o)(X)Z(n) estudiados por O'Farrell [31] y Wang [41],[43] ,[44] y [45].<br/><br/>El capítulo 3 analiza la aproximación en norma p,1 menor o igual que p, menor que infinito por funciones de R(o)(X) + R(o)(X)g. Utilizando técnicas de integrales singulares se establecen las proposiciones 3.1.1. y 3.1. 2. y ésta última mejora los resultados 1.3.3. El teorema 3.1.6. caracteriza completamente la adherencia en L(P)(e)(X) de la restricción a (e)(X) de R(o)(X) + R(o)(X)g, y en particular, resuelve satisfactoriamente el caso X = nulo. <br/>El capítulo 4 comienza estudiando la aproximación en norma Lip-alfa (o < alfa < 1) por funciones del modulo R(o)(X) + R(o)(X)g. El teorema 4.1.5. caracteriza completamente la validez de tal aproximación con la hipótesis adicional R(X) = C(X). Para obtener un resultante general de aproximación para X = nulo ha sido necesario considerar el módulo R(o)(X) + g(R)(o)(X) + g(2)R(o)(X) como muestra el teorema 4.3.3. (éste constituye el principal resultado de este capítulo). Este capítulo concluye con un teorema del tipo de Hartogs-Rosenthal,<br/>en norma c para el módulo R(o)(X) + R(o)(X)g.<br/><br/>El capítulo cinco consta de dos partes bien diferenciadas. Los resultados centrales 5.1.5., 5.1.3. de la primera parte muestran que R(g)(X) y R(p/g)(X) están definidos por condiciones locales si Z es finito. La demostración se basa en las propiedades de un operador de localización del tipo del de Vituskln. La segunda parte sirve como conclusión de la presente memoria; se presentan varias cuestiones abiertas y conjeturas relacionadas con los capítulos anteriores. Una bibliografía completa el articulado de la tesis.