Graph theory applied to transmission path problems in vibroacoustics

Abstract

Un aspecte fonamental quan cal resoldre un problema vibroacústic en un sistema mecànic és el de determinar com flueix l’energia des d’una font donada, cap a qualsevol part del sistema. Això permet decidir quines són les accions a prendre per disminuir, per exemple, els nivells de soroll i vibracions en una determinada àrea del sistema. El comportament dinàmic d’un sistema mecànic es pot estimar utilitzant diversos mètodes numèrics, cadascun dels quals enfocat a un marge de freqüència determinat. Mentre a baixes freqüències es poden aplicar mètodes deterministes com el Mètode d’Elements Finits (FEM) o el Mètode d’Elements de Contorn (BEM), a altes freqüències, els mètodes estadístics com l’Anàlisi Estadística Energètica (SEA), esdevenen inevitables. A més a més, diverses tècniques com el FE-SEA híbrid, els models de Distribució Energètica (ED) o l’Anàlisi Estadística de distribució d’Energia modal (SmEdA), entre d’altres, han estat recentment plantejades per tal de tractar amb l’anomenat problema de les mitges freqüències. Tanmateix, encara que alguns mètodes numèrics poden predir la resposta vibroacústica puntual o amitjanada d’un sistema, aquests no proporcionen de forma directa informació sobre com flueix l’energia per tot el sistema. Per tant, cal algun tipus de post-processament per a determinar quines són les vies de transmissió d’energia. L’energia transmesa a través d’un determinat camí que connecti un subsistema font, on l’energia és introduïda, i un subsistema receptor, es pot calcular numèricament. Tot i això, la identificació dels camins que dominen la transmissió d’energia des d’una font fins a un receptor normalment acostuma a basar-se en l’experiència i el parer de l’enginyer. Així doncs, un mètode que permeti obtenir aquests camins de forma automàtica resultaria molt útil. La teoria de grafs proporciona una sortida a aquest problema, ja que existeixen diversos algorismes de càlcul de camins en grafs. En aquesta tesi, es proposa un enllaç entre els models vibroacústics i la teoria de grafs, que permet adreçar els problemes de vies de transmissió de forma directa. La dissertació comença centrant-se en els models SEA. Primerament, es mostra que té sentit realitzar una anàlisi de vies de transmissió (TPA) en SEA. Seguidament, es defineix un graf que representa de forma acurada els models SEA. Tenint en compte que la transmissió d’energia entre fonts i receptors es pot justificar mitjançant la contribució d’un grup finit de vies dominants en varis casos d’interès, es presenta un algorisme per calcular-les. A continuació, s’implementa un algorisme que inclou en el càlcul de camins la naturalesa estocàstica dels factors de pèrdues SEA. Tot seguit, es tracta com es pot estendre l’anàlisi de vies de transmissió al marge de la mitja freqüència. L’aplicació de la teoria de grafs a les mitges freqüències s’adapta per alguns models ED, així com també SmEdA. Finalment, es presenta una altra possible aplicació de la teoria de grafs en vibroacústica. S’implementa una estratègia basada en algorismes de talls en grafs per tal de reduir l’energia en un subsistema receptor amb la modificació d’un grup reduït de factors de pèrdues. Aquest grup de variacions, es troba calculant talls en el graf que separin els subsistemes fonts dels receptors.

A fundamental aspect when solving a vibroacoustic problem in a mechanical system is that of finding out how energy flows from a given source to any part of the system. This would help making decisions to undertake actions for diminishing, for example, the noise or vibration levels at a given system area. The dynamic behavior of a mechanical system can be estimated using different numerical methods, each of them targeting a certain frequency range. Whereas at low frequencies deterministic methods such as the Finite Element Method (FEM) or the Boundary Element Method (BEM) can be applied, statistical methods like Statistical Energy Analysis (SEA) become unavoidable at high frequencies. In addition, a large variety of approaches such as the hybrid FE-SEA, the Energy Distribution (ED) models or the Statistical modal Energy distribution Analysis (SmEdA), among many others, have been recently proposed to tackle with the so-called mid-frequency problem. However, although numerical methods can predict the pointwise or averaged vibroacoustic response of a system, they do not directly provide information on how energy flows throughout the system. Therefore, some kind of post-processing is required to determine energy transmission paths. The energy transmitted through a particular path linking a source subsystem, where external energy is being input, and a target subsystem, can be computed numerically. Yet, identifying which paths dominate the whole energy transmission from source to target usually relies on the engineer's expertise and judgement. Thus, an approach for the automatic identification of those paths would prove very useful. Graph theory provides a way out to this problem, since powerful path algorithms for graphs are available. In this thesis, a link between vibroacoustic models and graph theory is proposed, which allows one to address energy transmission path problems in a straightforward manner. The dissertation starts focusing on SEA models. It is first shown that performing a transmission path analysis (TPA) in SEA makes sense. Then a graph that accurately represents the SEA model is defined. Given that the energy transmission between sources and targets is justified by the contribution of a limited group of dominant paths in many cases of practical interest, an algorithm to find them is presented. Thereafter, an enhanced algorithm is devised to include the stochastic nature of SEA loss factors in the ranking of paths. Next, it is discussed how transmission path analysis can be extended to the mid frequency range. The graph approach for path computation becomes adapted for some ED models, as well as for SmEdA. Finally, we outline another possible application of graph theory to vibroacoustics. A graph cut algorithm strategy is implemented to achieve energy reduction at a target subsystem with the sole modification of a reduced set of loss factors. The set is found by computing cuts in the graph separating source and receiver subsystems.

Un aspecto fundamental a la hora de resolver un problema vibroacústico en un sistema mecánico es el de determinar cómo fluye la energía desde una determinada fuente hasta cualquier parte del sistema. Ello ayudaría a tomar decisiones para emprender acciones destinadas a disminuir, por ejemplo, los niveles de ruido y vibraciones en un área del sistema dada. El comportamiento dinámico de un sistema mecánico se puede estimar utilizando varios métodos numéricos, cada uno de ellos enfocado a un determinado rango de frecuencia. Mientras en las bajas frecuencias se pueden aplicar métodos deterministas como el Método de los Elementos Finitos (FEM) o el método de Elementos de Contorno (BEM), los métodos estadísticos como el Análisis Estadístico Energético son inevitables en las altas frecuencias. Además, se han desarrollado gran variedad de técnicas como el FE-SEA híbrido, los modelos de Distribución de Energía (ED) o el Análisis Estadístico de distribución de Energía modal (SmEdA), entre otras, para tratar el llamado problema de las medias frecuencias. Sin embargo, aunque los métodos numéricos pueden predecir la respuesta vibroacústica puntual o promediada de un sistema mecánico, ellos no proporcionan información sobre como fluye la energía en el sistema. Por lo tanto, hace falta algún tipo de post-procesado para determinar las vías de transmisión de energía. La energía transmitida a través de un determinado camino que conecta un subsistema fuente, donde se introduce la energía, y un subsistema receptor, se puede calcular numéricamente. A pesar de ello, identificar qué caminos dominan la transmisión de energía desde la fuente al receptor normalmente suele recaer en la experiencia o el juicio del ingeniero. Así pues, un método automático para identificar estos caminos resultaría muy útil. La teoría de grafos proporciona una solución a este problema, ya que existen potentes algoritmos de cálculos de caminos en grafos. En esta tesis, se propone un enlace entre los modelos vibroacústicos y la teoría de grafos, que permite abordar los problemas de vías de transmisión de forma directa. La disertación empieza centrándose en los modelos SEA. Primeramente, se muestra que tiene sentido realizar un análisis de vías de transmisión (TPA) en un modelo SEA. Seguidamente, se define un grafo que representa fielmente un modelo SEA. Teniendo en cuenta que en muchos casos de interés práctico, la transmisión de energía entre fuentes y receptores se puede justificar mediante la contribución de un grupo finito de vías de transmisión, se define un algoritmo para encontrarlas. A continuación, se implementa un algoritmo que incluye en el cómputo de caminos la naturaleza estocástica de los factores de pérdidas SEA. Luego, se trata la extensión del análisis de vías de transmisión al rango de media frecuencia. La técnica de teoría de grafos aplicada a cálculo de caminos se adapta para algunos modelos ED y también SmEdA. Finalmente, se presenta otra posible aplicación de la teoría de grafos a la vibroacústica. Se implementa una estrategia basada en algoritmos de cortes en grafos destinada a reducir la energía en un subsistema receptor mediante la simple modificación de un grupo reducido de factores de pérdidas. El grupo se encuentra calculando cortes que separen en el grafo los subsistemas fuentes de los subsistemas receptores.