Fundamentos de geometría pseudoconforme en

Abstract

En una serie de recientes trabajos, donde se estudian a fondo muchos problemas esenciales de la moderna teoría de las funciones de dos variables complejas, F. SEVERI ha establecido las bases de una fundamentación geométrica de aquella teoría; este camino ha sido explorado minuciosamente por B. SEGRE, el cual ha obtenido también notables resultados.

Según este modo de ver, las propiedades fundamentales derivan de la representación real de los entes complejos, y especialmente la manera de considerar el infinito del campo de variabilidad. Como ha demostrado SEVERI, lo más correcto es considerar el par de variables complejas (x,y) distendido sobre la V(6/4) de C. SEGRE (es decir, sobre la falda real de una V(6/4) de SEGRE de tipo elíptico) de un espacio de ocho dimensiones; esta variedad es, en efecto, el modelo algebraico-topológico mínimo de dicho campo. Haciendo la proyección, en modo conveniente, de dicha variedad sobre un espacio plano de cuatro dimensiones S(4), obtenemos la representación de los puntos del plano proyectivo complejo por medio de los puntos reales de un S(4) euclídeo; en esta forma, los puntos del infinito de aquel plano corresponden homeomórroficamente a las rectas reales de una cierta congruencia lineal elíptica del espacio impropio de aquel S(4). Todas estas consideraciones fueron ya hechas en una nota de B. SEGRE, donde se hace ver toda su importancia.

Me propongo en esta memoria estudiar estas cuestiones en toda su generalidad, extendiéndolas al caso de “n” variables. Inmediatamente se echa de ver que, salvo algunos conceptos fundamentales que se transportan en seguida con ligeros cambios, no se trata de extensiones banales: se presenta una gran riqueza y variedad de hechos nuevos, que demuestran la conveniencia de no limitarnos al caso n=2 si queremos llegar a poseer una visión completa de la teoría de funciones analíticas de varias variables. Hay, además, cuestiones ya estudiadas en este último caso que adquieren nueva luz cuando se aumenta el número de dimensiones del espacio ambiente. Un ejemplo elemental se nos presenta al considerar las llamadas superficies características: una propiedad fundamental de estas superficies, que demostraremos en el Capítulo III, es la reducción del número de dimensiones de sus espacios osculadores en puntos genéricos. Cosa que no tiene sentido, evidentemente, en un espacio de cuatro dimensiones. Dicho de otro modo: en ese último espacio cualquier trozo regular de superficie analítica contiene un doble sistema conjugado de líneas, en el sentido de DUPIN. Apenas se consideran, en cambio, superficies pertenecientes a espacios de más de cuatro dimensiones; esto no ocurre ya en general. Pero las superficies características gozan de dicha propiedad.

Las consideraciones fundamentales que aquí desarrollamos se refieren a dos conceptos importantes que corresponden, en nuestra representación real de los entes complejos, a los de variedad analítica y transformación analítica del campo complejo. O sea, las variedades características y las transformados llamadas “pseudoconformes” por SEVERI.

Las propiedades que aquí estudiaremos tienen casi siempre carácter local, limitándonos a considerar trozos regulares de variedad.