Polígonos de Newton de orden superior y aplicaciones aritméticas

Abstract

La teoría algebraica de números tiene sus inicios en los trabajos de Kummer sobre la ecuación de Fermat. En los anillos ciclotómicos deja de ser cierto el teorema fundamental de la aritmética: los elementos descomponen en producto de elementos "primos", pero no de manera única. Kummer, en una intuición genial, apuntó que esta dificultad podía salvarse considerando la existencia de números ideales que permitirían recuperar la unicidad en la descomposición en producto de números ideales primos. Estas ideas las culminó Dedekind en 1878 fundando la teoría de ideales tal como la conocemos hoy en día. Los anillos de enteros de los cuerpos de números son dominios de Dedekind, es decir, todo ideal descompone de manera única en producto de ideales primos.

No obstante, la teoría de Dedekind no es efectiva. Cuando nos enfrentamos a un problema concreto, como por ejemplo resolver una ecuación diofántica, que exige considerar un cuerpo de números “K”, de anillo de enteros “O”, necesitamos resolver en general dos cuestiones fundamentales: (a) Determinar el tipo de descomposición pO = p(e1/) …… p(e/g) de los primos racionales en “K”. (b) Determinar generadores de los ideales P(1). Usualmente querremos computar estos datos a partir de una ecuación definidora del cuerpo K. Este aspecto efectivo lo cubre parcialmente Dedekind, usando ideas de Kummer, permitiendo resolver las dos cuestiones para todos los primos “p” excepto un número finito.

El siguiente paso, extraordinariamente importante tanto desde un punto de vista conceptual como de la efectividad, lo da Rensel, con la introducción de los cuerpos p-ádicos. Esta idea revolucionaria permite "descomponer" los problemas aritméticos globales en una suma de problemas locales, donde se focaliza la atención en los fenómenos que afectan a un primo concreto ”p”. Esta filosofía da como resultado práctico que el problema de la efectividad puede resolverse mediante técnicas locales que comportan esencialmente la factorización de polinomios en cuerpos p-ádicos (que se traduce en la práctica en factorizar módulo una potencia suficientemente alta de p) y la determinación de bases de enteros de órdenes locales. Utilizando distintas variantes de estas ideas se han obtenido diversos algoritmos para hallar la descomposición en producto de ideales primos. Destaquemos los de Pohst-Zassenhaus, Boffgen-Reichert y Buchmann-Lenstra.

El objetivo principal de la memoria es el de desarrollar un nuevo algoritmo, basado en la técnica del polígono de Newton. El polígono de Newton se utilizó en el siglo pasado para estudiar las singularidades de curvas planas. En 1907 Bauer reconvirtió la técnica para su aplicación a cuestiones aritméticas; sus propuestas fueron extensamente ampliadas por Ore, quien en una serie de artículos en los años 20, introduce un concepto más general de polígono, el q)(X)-polígono, que permite tratar el caso en que los factores irreducibles de F(X) no son necesariamente lineales. En la terminología clásica, la aplicación estricta del polígono (Bauer-Ore) es conocida como la "segunda aproximación", mientras que la información extra que obtiene Ore de cada lado se bautizó como la "tercera aproximación" (el teorema de Kummer-Dedekind) era la "primera aproximación". Esas aproximaciones han sido mejoradas y generalizadas por distintos autores; por ejemplo, Ore puso en un contexto más general la segunda aproximación inicial de Bauer, ó Montes-Nart refinaron la tercera aproximación. Ahora bien, los autores clásicos ya eran conscientes de que por mucho que se refinaran esas aproximaciones, siempre quedarían polinomios para los cuales todavía no se obtiene la respuesta definitiva. También intuían que debería ser posible introducir aproximaciones de más alto nivel que permitieran resolver la cuestión para cualquier polinomio en un proceso iterativo finito. Ésa es precisamente la cuestión que resolvemos en la memoria con nuestros polígonos de orden superior.

Pasamos a describir brevemente el contenido de los distintos capítulos de la memoria. En el capítulo 1 se exponen los principales resultados de Ore sobre el polígono de Newton trasladados al contexto de cuerpos locales. Se distinguen cuatro fases distintas, cada una culminando con un resultado clave que denominamos respectivamente teorema del producto (de carácter instrumental), del polígono (segunda aproximación), del polinomio asociado (tercera aproximación) y del índice. El conjunto de estas fases constituye lo que llamamos el nivel 1 ó orden 1. Cada fase marca los distintos obstáculos que será necesario superar en cada nivel con los polígonos de orden superior. Este es el objetivo del segundo capítulo, que constituye el núcleo principal de la memoria.

Dentro del segundo capítulo merecen mención especial las definiciones del polígono y del polinomio asociado en orden r. La definición correcta de "polígono a otro nivel" requiere considerar extensiones adecuadas de la valoración p-ádica al anillo de polinomios, marcadas por datos proporcionados por el polígono de orden anterior. Valoraciones de este tipo fueron introducidas por MacLane también con el propósito de obtener un algoritmo para determinar la descomposición de los primos en cuerpos de números; no obstante, sus métodos no son efectivos. La definición del polinomio asociado en orden r es el obstáculo cuya superación presentó mayores dificultades. En el fondo su construcción se reduce a encontrar "buenos" representantes de ciertas clases residuales módulo las valoraciones que acabamos de mencionar; ahora bien, la elección correcta (es decir, que funcione) de esos representantes pasa por un delicado trabajo con fracciones racionales. Finalmente, el teorema del índice es el resultado clave en el control de la finitud del proceso iterativo.

En el tercer capítulo se describe un proceso de obtención de "representantes optimales" , que permiten recoger toda la información posible que se puede obtener a un nivel determinado antes de verse obligado a pasar al nivel superior. Con esta técnica se obtiene una implementación mucho más ágil del algoritmo que la que se obtendría con una aplicación ciega de los resultados del capítulo 2.

En el cuarto capítulo se usan las técnicas del capítulo 2 para determinar de manera no algorítmica el discriminante absoluto y el tipo de descomposición de los primos en un cuerpo cuártico arbitrario.