Lògiques modals tetravalents

Abstract

El marc algebraic en què es situa aquesta memòria és l'introduït per Brown i Suzko a [BS], marc que gira entorn la definició de lògica abstracta; una lògica abstracta “L” és una parella (A,C) formada per una àlgebra abstracta “A” i un sistema clausura “C” sobre A, conjunt suport d' “A”. La noció clàssica de lògica corn un conjunt de fórmules ben formades sobre les quals es té un conjunt d'axiomes i unes regles d'inferència queda així com un cas particular, prenent com “A” el conjunt de fórmules ben formades i com “C” la família de subconjunts d' “A” que contenen els axiomes i són tancats per les regles de deducció, Els elements de “C” s'anomenen tancats, si bé A. Monteiro i els seus seguidors els anomenen sistemes deductius.

La noció de lògica abstracta té l'encert de tractar la part algebraica, “A”, i la part lògica, “C”, d'una lògica com un únic objecte matemàtic, i a més obre un ampli camp investigador en intentar relacionar classes de lògiques abstractes amb classes d'àlgebres. El primer treball en aquesta línia és l'estudi de la relació entre lògiques clàssiques (abstractes) i àlgebres de Boole fet per Bloom i Browm a [BSB], i a ell han seguit una llarga llista d'estudis del mateix tipus d'entre els quals cal destacar, per la seva influència sobre aquesta memòria, els realitzats per J.M. Font i V. Verdú sobre la lògica dels reticles distributius, les lògiques de De Morgan i les lògiques modals S4 i S5.

L'objectiu de la present memòria, que també va en aquesta línia, és la definició i l'estudi, el més complet possible en aquesta perspectiva, d'una classe de lògiques que he anomenat lògiques modals tetravalents (LMTs). Les LMTs són un tipus de lògiques modals (amb operador modal “M”) sobre lògiques de De Morgan (i per tant tetravalorades) que mantenen una estreta relació amb la varietat de les àlgebres modals tetravalents (AMTs).

La memòria està dividida en cinc capítols; el primer està dedicat a introduir la notació que es farà servir i les nocions preliminars tant d'àlgebra universal com de lògiques abstractes. Recullo sense demostració tots aquells resultats que faré servir i que apareixen en diversos articles de la bibliografia, només incloc les demostracions en algun cas on no les he trobades explicitades. En el segon capítol introdueixo la definició de AMT i enuncio les principals propietats d'aquestes àlgebres. En el tercer capítol introdueixo la noció de LQMT (no necessàriament finitària) i de LMT (finitària) generalitzant les propietats de la proposició 2.30, taI com abans he exposat. En el capítol quart estudio les lògiques sobre una àlgebra abstracta “A” projectivament generades per famílies d’homomorfismes de de la lògica formada per M(4-m) i el sistema clausura de tots els filtres. En el cinquè i últim capítol estudio les LMTs des d'una perspectiva més lògica (en contraposició a la perspectiva algebraica dels capítols anteriors).

The aim of this paper is to define and study some kind of abstract logics (we have named them tetravalent modal logics (TMLs)) which are related to the tetravalent modal algebras (TMAs). We have study the TMA from a logic perspective and we introduce the TMLs as the generalization of the logic or all filters on a TML to algebras or suitable type. With the techniques of modern algebraic logic we study the properties or TMLs and their relationship with the M(4-m) algebra, generator of the TMAs variety. This relationship will allow us lo give a semantic definition or TML; indeed, on an algebra or a suitable type, the TMLs are obtained generating projectively by suitable families of homomorphisms from the logic formed by M(4-m) and all its fillers. On the sentential algebra we define a deductive system, in the sense or Blok and Pigozzi, closely connected with the TMLs. We study the matrices, the generalized matrices and the models. We conclude proving that the TMLs are not algebraizables; thus, their study isn't a part of the general theory of Blok's and Pigozzi's aIgebraizables logics.