On the hyperbolic uniformization of Shimura curves with an Atkin-Lehner quotient of genus 0

Abstract

The main goal of this thesis is to contribute to the explicit hyperbolic uniformization of Shimura curves. We will restrict to the case of curves attached to Eichler orders in rational quaternion algebras whose maximal Atkin-Lehner quotient has genus 0, which despite multiple differences bears some resemblance to the classical modular case. We will provide an approach to obtain an explicit uniformization of these curves and some of their covers, together with several applications. We will illustrate all the applications with plenty of examples.

L’objectiu principal d’aquesta tesi és contribuir a la uniformització hiperbòlica explícita de les corbes de Shimura. Ens restringim a les corbes associades a ordres d’Eichler dins d’àlgebres de quaternions racionals tals que el seu quocient pel grup d’involucions d’Atkin-Lehner és de gènere 0. Aquest cas,tot I que presenta nombroses diferències amb el cas modular clàssic, també hi té certes similituds. Utilitzem aquest fet per a discutir una aproximació al problema de l’obtenció d’uniformitzacions hiperbòliques explícites d’aquestes corbes i d’alguns recobriments, així com també algunes aplicacions, que il·lustrem amb abundants exemples.

Per a entendre millor el problema, començarem introduint breument el seu rerefons històric. Després explicarem en detall les nostres contribucions i el contingut de la memòria.