Formes d'ona de Maass i aplicacions = Maass waveforms and applications

Abstract

Aquesta memòria està dedicada principalment al tractament computacional de les formes d’ona de Maass i a la consideració d’algunes aplicacions pràctiques derivades del seu estudi. Per abreujar, designarem aquestes funcions, simplement, amb el nom de formes de Maass. Les formes de Maass són funcions infinitament diferenciables que presenten comportaments periòdics (és a dir, automorfs) respecte de grups fuchsians. Des d’un punt de vista numèric, podem dir que les formes de Maass són força més misterioses que les formes automorfes habituals, que són funcions meromorfes. D’aquestes, i especialment quan el grup d’automorfia és un subgrup de congruència del grup modular, se’n coneixen nombrosos exemples numèrics, alguns dels quals es remunten al segle XIX, mentre que ha estat únicament en els darrers anys que s’han obtingut alguns exemples explícits de formes de Maass, referits tots ells a subgrups de congruència del grup modular. D’entrada, la tesi contempla una exposició i una implementació d’algoritmes existents pel càlcul de desenvolupaments a l’entorn de la punta de l’infinit de formes de Maass respecte de subgrups de congruència del grup modular. Tot seguit proposem un conjunt d’algoritmes que, d’acord amb la filosofia de [BT07a] i [BT07b], s’orienten cap a l’obtenció dels desenvolupaments de formes de Maass a l’entorn de punts no necessàriament cuspidals. Aquests algoritmes es tracten en el cas modular i, també, en el cas quaterniònic, en què el grup fuchsià prové de les unitats d’un ordre d’una àlgebra de quaternions racional indefinida. El caràcter discontinu dels grups fuchsians ha estat emprat en el disseny dels anomenats algoritmes de reducció de punts, els quals han resultat bàsics per als objectius anteriors. Al mateix temps, hem fet ús d’aquests algoritmes de reducció de punts pel disseny de codis nous de transmissió de dades en xarxes sense fils i aptes, per tant, per als mòbils que emprem diàriament. Per causa del seu origen, els hem anomenat codis fuchsians.

La memòria està dividida en tres parts i un apèndix. La primera part comprèn del capítol 1 al cap´ıtol 4. Conté una exposició teòrica dels grups fuchsians així com també el desenvolupament d’eines computacionals orientades a les aplicacions posteriors del treball. La segona part comprèn els capítols 5 al 8. En ella presentem les formes de Maass i els conceptes destinats al càlcul dels seus desenvolupaments. La tercera part, que comprèn els capítols 9 i 10, és la dedicada al disseny dels codis fuchsians per a la transmissió de dades. A l’apèndix s’hi troba un resum en anglès.