Tensor de impedancias magnetotelúrico en álgebras de Clifford: signatura rerum del tensor de impedancias magnetotelúrico

Abstract

El tensor de impedancias es el elemento matemático que condensa los datos en Magnetotelúrica. No obstante solemos verlo representado en forma matricial, representación que no ofrece toda la información que se puede recabar del mismo. Las álgebras de Clifford son un grupo asociativo que establece un sistema algebraico donde el tensor queda mejor caracterizado, dotándolo de significado geométrico. En este contexto, considerar el propio tensor y sus trasformaciones como elementos del álgebra, además de reproducir de manera compacta y sencilla las relaciones habituales, abre la posibilidad de dilucidar nuevos conceptos y relaciones que están aparentemente ocultos en el tensor.

El análisis en el contexto de las álgebras de Clifford C13 ha permitido descomponer el tensor de impedancias en sus elementos algebraico-geométricos más simples, ello ha facilitado hallar siete invariantes de rotación irreducibles e independientes. En el contexto del álgebra de Clifford C12 se ha representado la distorsión galvánica mediante una descomposición en sus elementos algebraico-geométrico más simples. Se observa que una de las subálgebras de C13 dota de significancia a la invariancia del phase tensor con la distorsión galvánica. El análisis en C12 ha permitido unificar las diferentes representaciones del tensor de impedancias, siendo los Diagramas de Mohr y el phase tensor las más representativas. Del análisis del phase tensor se han deducido los índices Indexe, Index2 y el Phase Sensitive Strike. En particular los índices Indexe y Index2 han permitido establecer nuevos criterios de dimensionalidad.

A partir de estructuras algebraicas del tensor de impedancias en Clifford C12, se han deducido unas relaciones a partir de las cuales se ha desarrollado un algoritmo para determinar y corregir la distorsión galvánica en el caso general 3D cuando, a periodos pequeños, el tensor de impedancias regional tiene un comportamiento 2D o 1D (y determinados casos 3D). El algoritmo para la determinación de la distorsión galvánica consiste en una búsqueda estocástica de los parámetros de distorsión twist, shear y anisotropy con ciertas constricciones que se imponen al tensor regional libre de distorsión.

Se ha diseñado un algoritmo, el Método Perturbativo, para la determinación del strike una vez identificados los periodos pequeños 2D. Se considera que la dispersión en la dirección del strike de los periodos pequeños 2D es debida al ruido (Gaussiano), por lo que el algoritmo consiste en generar aleatoriamente valores del tensor según una distribución Gaussiana equivalente al ruido, en estos primeros periodos 2D, hasta conseguir un strike común a todos ellos. Este procedimiento permite, además, corregir aquellos periodos que, aun siendo 2D, no cumplen las condiciones establecidas en los criterios de dimensionalidad, aumentando así la aplicabilidad de los métodos de determinación de la distorsión galvánica.

Se ha desarrollado un programa denominado MITT que recoge, además de las metodologías para determinar la distorsión galvánica, diferentes herramientas que giran en torno a las representaciones del tensor de impedancias: Curvas de resistividad aparente y fases, diagramas de Mohr y la generación de funciones densidad de probabilidad de Indexe Index2 y Phase Sensitive Strike. El programa se puede descargar del Dipósit Digital de la UB, http://hdl.handle.net/2445/66846.

The Magnetotelluric tensor and its transformations are considered elements of the Clifford Algebra. In this way, not only are the already known procedures reproduced but also new concepts and relationships hidden in the tensor are now elucidated.

In the frame of Clifford Algebra C/3, the magnetotelluric tensor is expressed in terms of its simplest geometric-algebraic components. In this way, seven irreducible independent rotation invariants are deduced. Galvanic distortion is represented in Cl2 Clifford Algebra. An analysis of the subalgebras in C/3 recognises a particular subalgebra as the one giving meaning to the independence of the phase tensor with the galvanic distortion. The Mohr diagrams and the phase tensor are analysed in the context of Clifford Algebra Cl2. The indexes Indexi, Index2 and the Phase Sensitive Strike are deduced from the phase tensor in Cl2. In particular, Indexi and Index2, which are independent of galvanic distortion and rotation, have enabled to introduce new criteria for the analysis of the dimensionality.

In Clifford algebra Cl2, a number of relationships have been found, from which a method to determine the galvanic distortion in the 3D case, with the assumption that the regional tensor has a 2D or 1D (and certain 3D cases) behaviour at short periods, has been developed. The method is based on a constrained stochastic heuristic method, which consists of exploring randomly the full space of the distortion parameters twist, shear and anisotropy.

A method to find the strike of the 2D short periods is developed. A different strike angle for each period can be obtained in a 2D case because of noise. In this way we expect to recover the strike direction perturbing the data for each period with a similar random Gaussian distribution to achieve a common strike for all the short periods.

The program MITT (Magnetotelluric Impedance Tensor Tools) is carried out. The program is based on the methodology developed to determine the galvanic distortion in a regional 3D case. In addition, MITT offers different useful tools about the representations of the impedance tensor: Apparent resistivities and phases, Mohr diagrams and probability density functions. MITT can be downloaded from the Dip6sit Digital de la UB, http://hdl.handle.net/2445/668