Integrable systems on b-symplectic manifolds

Abstract

The study of b-symplectic manifolds was initiated in 2012 by the works of Victor Guillemin, Eva Miranda and Ana Rita Pires (Adv. Math. 264 (2014), 864¿896). These manifolds, which can be understood as symplectic manifolds with singularities, have since then become the object of intense study. In the language of Poisson tensors, a b-symplectic manifold is a manifold $M^{2n}$ with a Poisson tensor $\Pi$ such that $\Pi^n$ vanishes transversally to the zero section of the bundle $¿^{2n}TM$. This thesis contributes important results about the dynamics of b-symplectic manifolds. After reviewing the general theory of Poisson and $b$-symplectic manifolds we present the definitions of integrable systems on these manifolds. The main results of this thesis are the action-angle coordinate theorems for commutative and non-commutative b-integrable systems [KMS, KM2], which state the existence of invariant "Liouville" tori on the singular set of the b-symplectic manifold, in perfect analogy to the symplectic case. We go on to present a cotangent model of this result, identifying a neighborhood of such a Liouville torus with a certain cotangent lift of a torus action [KM1]. These models also allow us to construct examples of b-integrable systems using torus actions as a starting point. The existence of action-angle coordinates motivates us to explore an analogue of the classical stability result for symplectic manifolds known as KAM theory. We prove a result that shows stability of a large number of invariant tori under certain perturbations. Finally, we present several examples of singular symplectic structures that arise naturally as the result of non-canonical transformations used in regularization of singularities in celestial mechanics [DKM].

El estudio de variedades b-simplécticas se inició en 2012 con el trabajo de Victor Guillemin, Eva Miranda y Ana Rita Pires (Adv. Math. 264 (2014), 864-896). Estas variedades que pueden ser interpretadas como variedades simplécticas con singularidades se han convertido en un campo de investigación muy activo. Desde el punto de vista de estructuras de Poisson, una variedad b-sympléctica se define como una variedad de dimensión par (orientada) $M^{2n}$ con una estructura de Poisson $\Pi$ tal que $\Pi^n$ se anula transversalmente como sección del fibrado $¿^{2n}TM$. Esta tesis contribuye resultados importantes en geometría y dinámica de estas variedades b-simplécticas. Tras explicar las nociones básicas sobre variedades de Poisson y variedades b-simplécticas introducimos las definiciones de sistemas integrables en estas variedades. En el caso de variedades b-simplécticas los sistemas integrables que investigamos son llamados "sistemas b-integrables". Los resultados principales de esta tesis son teoremas de coordenadas acción-ángulo para sistemas b-integrables en el caso conmutativo y no conmutativo [KMS, KM2]. Este teorema demuestra la existencia de toros invariantes, llamados toros de Liouville, en el conjunto singular de la variedad b-simpléctica, y su estructura b-simpléctica en un entorno del toro. Posteriormente presentamos un modelo cotangente que nos permite de identificar un entorno de un toro Liouville con un tipo de lift cotangente de una acción de un toro [KM1]. Estos modelos también nos permiten la construcción de ejemplos de sistemas b-integrables utilizando acciones de un toro como punto de partida. El teorema de coordenadas acción-ángulo es la motivación para explorar la estibilidad de sistemas b-integrables de manera analoga al resultado clásico de la teoria KAM para variedades simplécticas. Nuestro teorema KAM demuestra la existencia de un "gran número" de toros Liouville que son invariantes bajo pequeñas perturbaciones de cierta forma. Para terminar, presentamos varios ejemplos de estructuras simplécticas singulares que aparecen como resultado de transformaciones non-canónicas en la regularización de singularidades en mecánica celeste [DKM].