Entanglement, quantum phase transitions and quantum algorithms

Abstract

From the seminal ideas of Feynman and until now, quantum information and computation has been a rapidly evolving field. While at the beginning, physicists looked at quantum mechanics as a theoretical framework to describe the fundamental processes that take place in Nature, it was during the 80’s and 90’s that people began to think about the intrinsic quantum behavior of our world as a tool to eventually develop powerful information technologies. As Landauer pointed out, information is physical, so it should not look strange to try to bring together quantum mechanics and information theory. Indeed, it was soon realized that it is possible to use the laws of quantum physics to perform tasks which are unconceivable within the framework of classical physics. For instance, the discovery of quantum teleportation, superdense coding, quantum cryptography, Shor’s factorization algorithm or Grover’s searching algorithm, are some of the remarkable achievements that have attracted the attention of many people, both scientists and non-scientists. This settles down quantum information as a genuine interdisciplinary field, bringing together researchers from different branches of physics, mathematics and engineering. While until recently it was mostly quantum information science that benefited from other fields, today the tools developed within its framework can be used to study problems of different areas, like quantum many-body physics or quantum field theory. The basic reason behind that is the fact that quantum information develops a detailed study of quantum correlations, or quantum entanglement. Any physical system described by the laws of quantum mechanics can then be considered from the perspective of quantum information by means of entanglement theory. It is the purpose of this introduction to give some elementary background about basic concepts of quantum information and computation, together with its possible relation to other fields of physics, like quantum many-body physics. We begin by considering the definition of a qubit, and move then towards the definition of entanglement and the convertibility properties of pure states by introducing majorization and the von Neumann entropy. Then, we consider the notions of quantum circuit and quantum adiabatic algorithm, and move towards what is typically understood by a quantum phase transition, briefly sketching how this relates to renormalization and conformal field theory. We also comment briefly on some possible experimental implementations of quantum computers

Desde las pioneras ideas de Feynman hasta el día de hoy, la información y computación cuánticas han evolucionado de forma veloz. Siendo la mecánica cuántica en sus orígenes considerada esencialmente como un marco teórico en el que poder explicar ciertos procesos fundamentales que acontecían en la Naturaleza, fue durante los años 80 y 90 cuando se empezó a pensar sobre el comportamiento intrínsecamente cuántico del mundo en el que vivimos como una herramienta con la que poder desarrollar tecnologías de la información más potentes, basadas en los mismos principios de la física cuántica. Tal y como Landauer dijo, la información es física, por lo que no debe en absoluto extrañarnos el que se intentara comulgar la mecánica cuántica con la teoría de la información. Y nada más lejos de la realidad, pues pronto se vio que era posible utilizar las leyes de la física cuántica para realizar tareas inconcebibles desde un punto de vista clásico. Por ejemplo, el descubrimiento de la teleportación, la codificación superdensa, la criptografía cuántica, el algoritmo de factorización de Shor o el algoritmo de búsqueda de Grover, constituyen algunos de los logros remarcables que han atraído la atención de mucha gente, dentro y fuera de la ciencia. Queda la información cuántica, pues, constituida como un campo genuinamente pluridisciplinar, en el que se concentran investigadores provenientes de diferentes ramas de la física, las matemáticas y la ingeniería. Mientras en sus orígenes era la información cuántica quien se beneficiaba del conocimiento de otros campos, a día de hoy las herramientas desarrolladas en el marco de la teoría cuántica de la información pueden ser asimismo usadas en el estudio de problemas de diferentes áreas, como la física de muchos cuerpos o la teoría cuántica de campos. Ello es debido al estudio detallado que la información cuántica desarrolla de las correlaciones cuánticas, o entrelazamiento cuántico. Cualquier sistema físico descrito por las leyes de la mecánica cuántica se puede por lo tanto considerar bajo la perspectiva de la teoría cuántica de la información a través de la teoría del entrelazamiento.