Discrete volume method : a variational approach for brittle fracture

Abstract

This thesis presents a proposal to simulate mechanics and dynamics of brittle fracture. A variational formulation is used to describe Lagrangian mechanics, by minimizing the difference between potential and kinetic energy of the system, obtaining a pair of partial differential equations; the solution of these equations corresponds to the displacement field and damage phase-field respectively. Such an equations are coupled in the sense that the damage field is used in the first equation and the displacement field is used in the second one.

In this work we propose a numerical method based on control volumes to solve the differential equations, extending the formulation to support the separation of control volumes, processing these volumes as discrete entities. This treatment results in accurate calculations of stress field and the nucleation of new internal fractures that can be propagated through domain creating multiple bifurcations.

To integrate equations inside control volumes we introduce a family of polynomial splines that we refer as homeostatic splines, since its derivatives are null at vertices with a smooth function variation between adjacent volumes. Furthermore, we propose a shape function with trigonometric components for dynamic analysis, allowing bigger time steps that with traditional approaches.

Finally, we perform ten numerical experiments to show the effectiveness of the method and to compare our results with those published by other authors.

La tesis presenta una propuesta para simular la mecánica y dinámica del fenómeno de fractura frágil. Se plantea una formulación variacional que consiste en minimizar la diferencia entre la energía potencial y la energía cinética del sistema, obteniendo así un par de ecuaciones diferenciales parciales, cuya solución corresponden al campo de desplazamientos y al campo de daño respectivamente. Estas ecuaciones están acopladas en el sentido de que el campo de daño se usa en la primera ecuación y el de desplazamientos en la segunda. En este trabajo se propone un método numérico basado en volúmenes de control para resolver las ecuaciones diferenciales, además el modelo se extiende para soportar la separación de los volúmenes de control, tratándolos posteriormente como entidades discretas, esto permite calcular con precisión el campo de esfuerzos y la aparición de fracturas internas que pueden propagarse a través del dominio y crear múltiples bifurcaciones. Para integrar las ecuaciones dentro de los volúmenes de control se introducen una familia de splines polinomiales, que se les refiere como splines homeostáticos, ya que sus derivadas son nulas en los vértices y el cambio de la función entre dos volúmenes contiguos es suave. Además, se propone una función de forma con componentes trigonométricas para el análisis dinámico, permitiendo pasos de tiempo más grandes que con enfoques tradicionales. Finalmente se realizan diez experimentos numéricos para mostrar la eficacia del método y contrastar los resultados con aquéllos publicados por otros autores.