Modelització de corbes i superfícies amb aplicacions al disseny geomètric assistit per ordinador i a l'arquitectura

Abstract

En primer lloc, s'evidencia que el disseny que involucra grafisme es pot analitzar com articulat en dos nivells o etapes, un de concepció, intel·lectual, i un altre d'execució, manual o físic, ambdós sempre en interrelació dialèctica. En segon lloc, es fan aportacions (matemàtiques) a ambdós nivells. Les matemàtiques han estat sempre presents com a vehicle per aquest diàleg, però, a partir del naixement del software gràfic, aquesta col·laboració s'ha actualitzat de manera descompensada (val a dir, descompassada): mentre ha aparegut una nova teoria, el Disseny Geomètric Assistit per Ordinador (CAGD) per donar cobertura matemàtica a la vessant executiva del disseny informatitzat, no s'ha actualitzat el referent matemàtic teòric per guiar la ment en la tasca de concepció per tal de poder explotar totes les noves possibilitats que ofereix la nova eina; aquest referent segueix sent eminentment euclidià.<br/>En síntesi, la tesi que es proposa és la de que falta un corpus de teoria matemàtica que permeti al dissenyador codificar la seva creativitat en un format que sigui capaç d'explotar tota la potencialitat de la eina informàtica gràfica, de la mateixa manera que la geometria euclidiana permetia codificar satisfactòriament el disseny que era possible amb el regle i el compàs. Es tracta de concebre explotant la relació que, gràcies als ponts que estableixen els sistemes de coordenades, existeix entre funcions i formes, que es just el que permet a un ordinador "dibuixar" a partir de zeros i uns.<br/>D'acord amb això, la introducció s'ocupa de desenvolupar i argumentar aquest punt de vista. Un cop establertes les dues etapes del disseny i argumentada la carència teòrica en el nivell de concepció, s'aporta maquinària matemàtica per ambdues etapes. Així, el cos de la memòria té dues parts. La Part I recull aportacions pel CAGD, és a dir, per la fase d'execució, la més comú en la recerca actual, consistents principalment en nous mètodes de generació de corbes i superfícies a partir de dades de disseny proporcionades per l'usuari. La Part II ofereix una proposta, entre les possibles, de corpus teòric per cobrir el buit que es senyala en la fase de concepció, consistent en una mena de codi o gramàtica matemàtica organitzada en:<br/>- Lletres: Les funcions en brut. La seva gràfica és germen de formes.<br/>- Paraules: Les funcions modificades amb paràmetres ajustables i formalment significatius.<br/>- Verbs: Operadors funcionals que actuen sobre les paraules amb una acció interpretable en termes formals. S'organitzen en sis tipus, segons la manera d'actuar.<br/>- Oracions: Les formulacions resultants de la interacció dels elements anteriors, que representen els dissenys finals.<br/>Val a dir que es proposa un disseny descompassat, o sigui, sense el compàs, en el sentit de superar la mentalitat ancorada en el regle i el compàs (no eliminant-la sinó incloent-la).<br/>S'adjunten exemples en tots els casos. En la Part II els exemples s'enfoquen cap el disseny gràfic (sanefes, textures) i cap l'arquitectònic (estadi de futbol, naus i galeries i una catedral gòtica, tots completament formulats amb funcions matemàtiques paramètriques).<br/>Pel seu contingut, es tracta d'una memòria interdisciplinar, ja que afecta com a mínim a la psicologia del disseny, al propi disseny, a la història de l'art, a la informàtica i, evidentment, a les matemàtiques. De totes maneres, les matemàtiques que hi apareixen són tractades amb una mentalitat més de dissenyador o d'enginyer que de matemàtic pur. En altres paraules, no és una tesi de teoremes sinó de "fabricació" de mètodes (matemàtics) per ajudar a desenvolupar una manera més creativa de dur a terme el disseny que involucra grafisme.

En primer lugar, se evidencia que el diseño que involucra grafismo se puede analizar como articulado en dos niveles o etapas, uno de concepción, intelectual, y otro de ejecución, manual o físico, ambos siempre en interrelación dialéctica. En segundo lugar, se hacen aportaciones (matemáticas) a ambos niveles. Las matemáticas han estado siempre presentes como vehículo para este diálogo, pero, a partir del nacimiento del software gráfico, esta colaboración se ha actualizado de manera descompensada (cabe decir desacompasada): mientras ha aparecido una nueva teoría, el Diseño Geométrico Asistido por Ordenador (CAGD) para dar cobertura matemática a la vertiente ejecutiva del diseño informatizado, no se ha actualizado el referente matemático teórico para guiar la mente en la tarea de concepción a fin de poder explotar todas las nuevas posibilidades que ofrece la nueva herramienta; este referente sigue siendo eminentemente euclidiano.<br/>En síntesis, la tesis que se propone es la de que falta un corpus de teoría matemática que permita al diseñador codificar su creatividad en un formato que sea capaz de explotar toda la potencialidad de la herramienta informática gráfica, de la misma manera que la geometría euclidiana permitía codificar satisfactoriamente el diseño que era posible con regla y compás. Se trata de concebir explotando la relación que, gracias a los puentes que establecen los sistemas de coordenadas, existe entre funciones y formas, que es precisamente lo que permite a un ordenador "dibujar" a partir de ceros y unos. <br/>De acuerdo con esto, la introducción se ocupa de desarrollar y argumentar este punto de vista. Una vez establecidas las dos etapas del diseño y argumentada la carencia teórica en el nivel de concepción, se aporta maquinaria matemática para ambas etapas. Así, el cuerpo de la memoria tiene dos partes. La Parte I recoge aportaciones para el CAGD, es decir, para la fase de ejecución, la más común en la investigación actual, consistentes principalmente en nuevos métodos de generación de curvas y superficies a partir de datos de diseño proporcionados por el usuario. La Parte II ofrece una propuesta, entre las posibles, de corpus teórico para cubrir el vacío que se señala en la fase de concepción, consistente en una especie de código o gramática matemática organizada en:<br/>- Letras: Las funciones en bruto. Su gráfica es germen de formas<br/>- Palabras: Las funciones modificadas con parámetros ajustables y formalmente significativos.<br/>- Verbos: Operadores funcionales que actúan sobre les palabras con una acción interpretable en términos formales. Se organizan en seis tipos, según la manera de actuar.<br/>- Oraciones: Las formulaciones resultantes de la interacción de los elementos anteriores, que representan los diseños finales<br/>Cabe decir que se propone un diseño desacompasado, o sea, sin el compás, en el sentido de superar la mentalidad anclada en la regla y el compás (no eliminándola sino incluyéndola).<br/>Se adjuntan ejemplos en todos los casos. En la Parte II los ejemplos se enfocan hacia el diseño gráfico (cenefas, texturas) y hacia el arquitectónico (estadio de fútbol, naves y galerías y una catedral gótica, todos completamente formulados con funciones matemáticas paramétricas).<br/>Por su contenido, se trata de una memoria interdisciplinar, ya que afecta como mínimo a la psicología del diseño, al propio diseño, a la historia del arte, a la informática y, evidentemente, a las matemáticas. De todos modos, las matemáticas que aparecen son tratadas con una mentalidad más de diseñador o de ingeniero que de matemático puro. En otras palabras, no es una tesis de teoremas sino de "fabricación" de métodos (matemáticos) para ayudar a desarrollar una manera más creativa de llevar a cabo el diseño que involucra grafismo.

As a preliminar step, it is shown that the design involving graphics is twofold. It has a level of conception that is intellectual and a level of execution that is manual or physical. Both levels are always in dialectical interrelation. This work contains some (mathematical) contributions made to both levels. Mathematics have always been a vehicle for this dialogue, but, from the birth of the graphical software, this collaboration has been updated in an unbalanced way: while a new theory has appeared, the Computer Aided Geometrical Design, to give mathematical support to the executive side of the design with computers, the theoretical mathematical referent that has to guide the mind in the conception task has not been updated in order to exploit all the possibilities that the new tool offers. Therefore, this referent still remains mainly Euclidean.<br/>To sum up, this thesis states that the Euclidean geometry allows a satisfactory codification of the design made with ruler and compasses and uncovers the existing lack of a mathematical theory in order to allow the designer to codify its creativity in a format suitable for exploiting the actual potentiality of the graphical cybernetic tool. The main point is to conceive the designs by exploiting the existing relation between functions and shapes. This relation, based on co-ordinate systems, is precisely the relation that allows a computer to "draw" by means of zeros and ones. <br/>According with this idea, the introduction is devoted to develop and to support this point of view. Once the two stages of the design have been established and the lack of theory at the level of conception has been justified, some mathematical machinery for the two stages is given. Thus, the body of the memory has two parts. Part One collects the contributions to the CAGD, that is, to the execution stage (the most common in the present research), mainly consisting in new methods for the generation of curves and surfaces starting from data given by the user. Part Two offers a proposal of a theoretical corpus in order to cover the gap detected in the conception stage, consisting of a mathematical code or grammar organised in: <br/>- Letters: The raw functions. Its graph is a germ of shapes.<br/>- Words: The functions modified with adjustable and formally significant parameters.<br/>- Verbs: Functional operators that act on the words and they represent an action that can be interpreted in formal terms. They are organised in six types, according to the kind of action.<br/>- Sentences: The formulations obtained from the interaction of the previous elements representing the final design.<br/>A design without compasses is proposed in the sense that it is necessary to go beyond the mentality that is anchored in the ruler and the compasses not by eliminating it, but by including it.<br/>Some examples for all these cases are included. In Part Two, the examples are focussed towards the graphical design (edgings, textures) and towards the architectural design (football stadium, naves, galleries and a gothic-like cathedral). All the examples are completely formulated with mathematical parametrical functions.<br/>Due to its contents, it is an interdisciplinary memory since it has connections with, at least, the psychology of the design, the design itself, the history of the art, the computer science and, evidently, the mathematics. However, the mathematics are managed here more with the mentality of a designer or an engineer than with the mentality of a pure mathematician . In other words, it is not a thesis of theorems but a thesis about the "construction" of (mathematical) methods for helping the development of a more creative computer graphical design.