Normal forms around lower dimensional tori of hamiltonian systems

Abstract

L'objectiu bàsic d'aquesta tesi és l'estudi de la dinàmica a l'entorn de tors de dimensió baixa de sistemes hamiltonians analítics. Per aquest estudi l'eina fonamental és l'ús de formes normals al voltant d'aquests objectes.<br/><br/>La formulació dels resultats d'aquesta memòria s'ha fet de manera adient per a la seva aplicació a models de mecànica celeste del món real. Per aquest motiu els resultats no es redueixen només al cas autònom, sinó que algun d'ells pren en consideració la possiblitat que les diferents perturbacions pugin dependre del temps de forma periòdica o quasiperiòdica. Aquests resultats s'apliquen per descriure la dinàmica d'alguns problemes d'interes per la Astronàutica. Per tant, els resultats obtinguts inclouen també aplicacions numèriques.<br/><br/>Els resultats assolits en cadascun del capítols de la memòria es poden sintetitzar de la forma següent:<br/><br/>Capítol 1.- Estudi de la dinàmica entorn d'un tor parcialment el.líptic d'un sistema Hamiltonià autònom. Es donen cotes inferiors pel temps de difusió entorn d'un tor totalment el.líptic, així com estimacions, en el cas general, de la densitat de tors invariants (de qualsevol dimensió) al voltant del tor inicial. Les estimacions en la velocitat de difusió i en la proximitat a 1 d'aquesta densitat, són exponencialment petites respecte la distància al tor inicial.<br/><br/>Capítol 2.- Computació numèrica de formes normals al voltant d'òrbites periòdiques. Es desenvolupa un mètode per a calcular formes normals al voltant d'òrbites periòdiques el.líptiques de sistemes hamiltonians. Aquesta metodologia és aplicada numèricament a una òrbita periòdica del Problema Restringit de tres Cossos espaial. Els resultats d'aquest capítol es poden veure com una implementació numèrica del Capítol 1.<br/><br/>Capítol 3.- Persistència de tors de dimensió baixa sota perturbacions quasiperiòdiques. Es mostra que un tor de dimensió baixa d'un sistema hamiltonià sotmès a una perturbació <br/>quasiperiòdica és pot continuar respecte el paràmetre perturbatiu, tot afegint a les freqüències bàsiques inicials les de la perturbació, excepte per un conjunt de mesura petita pel paràmetre. Al igual que en el Capítol 1 també s'estima la densitat de tors en el problema perturbat. En ambdós casos, les cotes obtingudes per la mesura dels tors pels qual no és possible provar existència són de tipus exponencialment petit.<br/><br/>Apèndix. Es presenta un resultat obtingut de forma conjunta amb Rafael Ramírez-Ros sobre la reducció a coeficients constants de sistemes d'equacions lineals autònoms perturbats quasiperiòdicament. Es mostra que tal reducció és possible excepte un reste exponencialment petit en el tamany de la perturbació.