Grups de Galois sobre Q amb condicions de ramificació prefixades

Abstract

En aquesta tesi estudiem versions refinades del problema invers de la teoria de Galois sobre el cos Q dels racionals, que s'obtenen quan prefixem determinades condicions de ramificació. Ens plantejem, per exemple, les següents qüestions per a un grup finit <i>G</i> :<br/><br/>(a)Quin és el mínim natural <i>ram</i>(<i>G</i>) per la qual existeix alguna extensió de Galois de Q ramificada només en <i>ram</i>(<i>G</i>) primers i amb grup de Galois isomorf a <i>G</i> ?<br/><br/>(b)Donat un conjunt finit de primers racionals <i>S</i>, existeix alguna realització de <i>G</i> com a grup de Galois d'una extensió de Q no ramificada en <i>S</i>?<br/><br/>(c)Existeix alguna extensió de Galois moderadament ramificada i amb grup de Galois Gal(<i>F</i>/Q) isomorf a <i>G</i>?<br/><br/>Com a eines utilitzades, destaquem la teoria de cossos de classes, la teoria dels polígons de Newton (aritmètics) i l'especialització d'extensions galoisianes de Q(<i>T</i>) (Teorema d'irreductibilitat de Hilbert,.)<br/><br/>Abordem la pregunta (a) per a alguns grups resolubles finits (que sempre admeten resposta afirmativa a (b) i (c)).<br/><br/>Per a un <i>l</i>-grup finit <i>G</i> qualsevol (<i>l</i> primer senar), afitem <i>ram</i>(<i>G</i>) per una constant explícita menor o igual que la suma dels nombres de generadors dels factors de la sèrie central inferior de <i>G</i>. A més, generalitzem aquesta fita als grups nilpotents finits d'ordre senar. El punt de partida per a obtenir aquests resultats és la demostració que dóna Serre del Teorema de Scholz-Reichardt.<br/><br/>Per a un grup diedral generalitzat <i>G</i> qualsevol, la teoria de cossos de classes d'anell de cossos quadràtics ens permet demostrar que <i>G</i> es realitza com a grup de Galois d'una extensió de Q ramificada en <i>d</i>(<i>G</i>) primers finits. Assumint la validesa de la Hipótesi (H) de Schinzel obtenim el valor de <i>ram</i>(<i>D</i>-sub 2n), per a qualsevol <i>n</i>.<br/><br/>Estudiem les qüestions (b) i (c) per a certs grups finits no resolubles. <br/><br/>Per al grup alternat A-sub n, considerem primer les realitzacions galoisianes obtingudes com a cossos de descomposició de trinomis racionals. Obtenim caracteritzacions per a l'existència d'aquestes extensions amb diversos comportaments de ramificació prefixats en un conjunt finit de primers. En particular, concloem que (per alguns <i>n</i>) els trinomis no ens permeten respondre a les preguntes (b) i (c) per a <i>G</i> = A-sub n. Sí obtenim resposta (afirmativa) a aquests problemes a partir d'una construcció de Mestre. Demostrem que, per a tot conjunt natural <i>n</i> i tot conjunt finit de primers <i>S</i>, sempre existeixen polinomis mònics de grau <i>n</i> amb coeficients enters, totalment reals, amb grup de Galois A-sub n i discriminant no divisble per cap primer de <i>S</i>.<br/><br/>Per als grups de Mathieu <i>M</i>-sub 11 i <i>M</i>-sub 12 i el grup Aut(<i>M</i>-sub22), demostrem l'existència d'especialitzacions moderadament ramificades de realitzacions galoisianes regulars conegudes sobre Q(<i>T</i>). Els exemples triats provenen de construccions obtingudes per l'anomenat mètode de la rigidesa que, segons un suggeriment de Birch, habitualment hauria de donar lloc (per especialització)a extensions de Q salvatgement ramificades. <br/><br/>Finalment, considerem problemes d'immersió galoisiana. Demostrem que sempre es pot conservar l'existència d'especializacions moderadament ramificades en resoldre (pròpiament) problemes d'immersió central finits sobre Q(<i>T</i>). Això ens permet respondre afirmativament a la qüestió (c), per a tot grup <i>G</i> extensió central finita d'algun dels grups següents: grups alternats, grups simètrics i els grups de Mathieu <i>M</i>-sub 11 i <i>M</i>-sub 12.<br/><br/>Demostrem també que, si <i>K</i> és un cos de característica 0 i <i>G</i> és un grup extensió central finita de <i>A</i>-sub <i>n</i> (<i>n</i> és diferent de 4, 6, 7), aleshores tota extensió de <i>K</i> amb grup de Galois <i>G</i> s'obté per especialització d'alguna realització galoisiana regular de <i>G</i> sobre <i>K</i>(<i>T</i>) (propietat d'aixecament aritmètic). Com a conseqüència d'una generalització d'aquest resultat, <i>G</i> es realitza com a grup de Galois d'alguna extensió de Q en la qual els primers d'un conjunt finit qualsevol prefixat descomponen completament.