Generació espontània de vents en règim de convecció tèrmica

Abstract

En aquest treball s'estudia la convecció en una capa plana de fluid entre dues superfícies perfectament conductores sotmesa a un gradient advers de temperatura. Es considera el problema bidimensional amb periodicitat en la direcció longitudinal i s'incideix especialment en la generació espontània de vents. Les condicions de contorn que s'utilitzen a les superfícies (cas rígid) permeten esforços tallants no nuls, per això s'ha permés l'existència, no només d'un flux amb vent, sinó d'un flux de massa net. <br/><br/>El problema es planteja en una caixa periòdica de longitud L i s'analitzen solucions d'aquesta longitud tant amb una parella de rotlles com amb més d'una. Aquests dos casos requereixen un estudi diferent, és per això que el treball es divideix en dues parts. <br/><br/>La primera part consta de:<br/><br/>(1) l'anàlisi d'estabilitat de solucions amb una sola parella de rotlles, <br/>que, gràcies a les simetries del sistema, factoritza en quatre problemes.<br/> Es presenten les corbes d'estabilitat pel número de Prandtl 10, destacant que és per valors de L petits on, via una bifurcació de Hopf, es genera vent amb un perfil antisimètric i que es troba una corba que presenta una bifurcació subcrítica estacionària amb vent antisimètric degut a la ressonància d'estats purs 1:2,<br/><br/>(2) la dinàmica dels rotlles per a número de Prandtl 10, fixant alguns valors de L que són significatius de la dinàmica per aquest valor del número de Prandtl. En tots els casos, augmentant el número de Rayleigh, apareixen vents que bifurquen o no del flux bàsic i com a etapa final sempre es generen solucions amb un flux de massa net, solucions que han perdut qualsevol simetria,<br/> <br/>(3) un model d'equacions d'amplitud que justifica el caràcter de les bifurcacions secundàries i permet entendre el comportament no lineal de les solucions prop de la bifurcació. <br/><br/><br/>La segona part consta de:<br/><br/>(4) l'anàlisi d'estabilitat de totes les solucions amb més d'una parella de rotlles enfront de qualsevol pertorbació periòdica que pugui cabre al contenidor. Utilitzant la teoria de Floquet es pot reduïr l'anàlisi a un domini de longitud la periodicitat bàsica de la solució. Això permet calcular quin és el rang de paràmetres on les parelles de rotlles són estables enfront de qualsevol pertorbació periòdica (es presenta el cas amb número de Prandtl 10). Els resultats ens diuen que les ressonàncies n-1:n amb n>1 dominen 'estabilitat <br/>de n parelles de rotlles,<br/><br/>(5) el càlcul de totes les solucions estacionàries amb les mateixes simetries que els rotlles primaris. S'observa que ,el fet de que, fixant paràmetres, no hi hagi unicitat de solucions es deu a les ressonàncies 1:2n+1.

Thermal convection in a planar fluid layer with perfectly conducting surfaces and with an advers temperature gradient is studied. The bidimensional problem with periodicity in the longitudinal<br/> is considered. The spontaneous generation of winds is the main goal of this work. Rigid boundary conditions are used in the vertical, allowing the generation of a mean flow and a net mean mass flux.<br/> <br/>We set out the problem in a periodic container with lenght L and we analize solutions with this lenght containing one o more pairs of rolls. This two cases need a different study, is for this reason<br/>the work is divided into two parts.<br/><br/> <br/>The firs part contains:<br/><br/><br/>(1) the stability analysis of solutions with one pair of rolls. This analysis , due to the symmetries of the system, factorize into four problems. The stability curves with Prandtl number 10 are calculated. We observe that for small values of $L$ a mean flow with an antisymmetric mean flow is generated via a Hopf bifurcation. We also detect a curve that presents a subcritical steady state bifurcation with an antisymmetric mean flow. This curve is due to the 1:2 resonance of pure mode states, <br/><br/>(2) the nonlinear dynamics of rolls with Prandtl number 10 for some values of L, significant of the dynamics of this Prandtl number. In all cases, increasing the Rayleigh number, an spontaneos mean flow is generated. These mean flow can or cannot bifurcate from the basic convective regime but the final solutions present a net mean mass flux and no symmetries are present, <br/><br/>(3) a model of amplitude equations that interprets the caracter of secundary bifurcations and nonlinear dynamics of them near the bifurcation. <br/><br/><br/>The second part contains:<br/><br/><br/>(4) the stability analysis of solutions with more than one pair of rolls with respect periodic perturbations. Using Floquet theory we reduce the analysis to a container with lenght the basic periodicity of solution. With this simplication we calculate the rang of parameters with stable pairs of rolls with respect any periodic instability (the case Prandtl number 10 is presented). The results<br/>clarify that the n-1:n resonances with n>1 dominate the stability of n pairs of rolls.<br/><br/>(5) the research of all steady solutions with same symmetries that primary rolls. We observe that 1:2n+1 resonances produce the non-unicity of these solutions when some parameter values are fixed.