On Higher Arithmetic Intersection Theory

Abstract

The results of this thesis contribute to the program of developing a higher arithmetic intersection theory. These results constitute chapters 3 and 5. Chapters 2 and 4 consist of the preliminary results needed for chapters 3 and 5, in the area of homotopy theory of simplicial sheaves and algebraic K-theory.<br/><br/>In chapter 3, we develop a higher intersection theory on arithmetic varieties, "à la Bloch". We construct a representative of the Beilinson regulator using the Deligne complex of differential forms. Next, we develop a theory of higher arithmetic Chow groups, for any arithmetic variety X over a field. We prove that the construction is functorial and that there is a commutative and associative product structure, compatible with the algebraic intersection product. Therefore, we provide an arithmetic intersection product for arithmetic varieties over a field.<br/><br/>Chapters 4 and 5 are devoted to the definition of Adams operations on higher arithmetic K-theory. By the nature of the definition of the higher arithmetic K-groups, it is apparently necessary to have a description of the Adams operations in algebraic K-theory in terms of a chain morphism, compatible with the representative of the Beilinson regulator "ch".<br/><br/>In chapter 4, we obtain a chain morphism inducing Adams operations on higher algebraic K-theory over the field of rational numbers. This definition is of combinatory nature. This chain morphism is designed to commute with the Beilinson regulator "ch" given by Burgos and Wang.<br/><br/>In chapter 5 it is shown that this chain morphism indeed commutes with the representative of the Beilinson regulator "ch" and we use this fact to define Adams operations on the rational higher arithmetic K-groups.<br/><br/>The development of this study required tools to compare morphisms from algebraic K-groups to a suitable cohomology theory or to the K-groups themselves. In chapter 2, we study these comparisons at a general level, providing theorems giving sufficient conditions for two morphisms to agree. The theory underlying the proofs is the homotopy theory of simplicial sheaves. As an application, we prove that the Adams operations defined by Grayson agree for any regular noetherian scheme of finite Krull dimension with the Adams operations defined by Gillet and Soulé by means of homotopy theory of sheaves. In particular, this implies that the Adams operations defined by Grayson's work.

<i>TÍTOL DE LA TESI: "Sobre la teoria d'intersecció aritmètica superior" <br/><br/>TEXT:<br/><br/>Aquesta tesi s'emmarca en el programa de la geometria d'Arakelov que es basa en obtenir una teoria d'intersecció aritmètica seguint les passes de la teoria d'intersecció algebraica. Els resultats d'aquesta tesi contribueixen al programa de desenvolupar una teoria d'intersecció aritmètica superior. Aquests són els resultats que constitueixen els capítols 3 i 5. Els capítols 2 i 4 consisteixen en resultats preliminars que es necessiten pels capítols 3 i 5, en l'àrea de teoria homotòpica de feixos simplicials i K-teoria algebraica.<br/><br/>En el capítol 3, hem desenvolupat una teoria d'intersecció superior en varietats aritmètiques "à la" Bloch. És a dir, hem modificat els grups de Chow superiors definits per Bloch via una construcció explícita del regulador de Beilinson en termes de cicles algebraics.<br/><br/>Hem construït un representant del regulador de Beilinson usant el complex de Deligne de formes diferencials. Tot seguit, hem desenvolupat una teoria de grups de Chow aritmètics superiors, per a qualsevol varietat aritmètica X sobre un cos. Demostrem que hi ha un producte associatiu i commutatiu, compatible amb el producte d'intersecció algebraic. Per tant, donem un producte d'intersecció aritmètic per varietats aritmètiques sobre un cos.<br/><br/>Tot seguit ens vam centrar en la relació entre els grups de Chow aritmètics superiors definits i els K-grups aritmètics superiors. Per tal de seguir l'esquema algebraic, hauríem de tenir una descomposició dels grups Kn(X) racionals donada pels espais de vectors propis de les operacions Adams. Per la naturalesa de la definició de Kn(X), tant considerant la fibra homotòpica com els grups d'homotopia modificats de Takeda, és aparentment necessari tenir una descripció de les operacions d'Adams en K-teoria algebraica en termes d'un morfisme de cadenes, compatible amb el representant del regulador de Beilinson "ch". <br/><br/>En el capítol 4, obtenim un morfisme de cadenes que indueix les operacions d'Adams en K-teoria algebraica superior, sobre el cos dels nombres racionals. Aquesta definició és de naturalesa combinatòrica. A més, el morfisme està construït amb la idea en ment que hauria de commutar amb el regulador de Beilinson "ch" donat per Burgos i Wang.<br/><br/>En el capítol 5 demostrem que aquest morfisme de cadenes commuta amb "ch" i usem aquest fet per definir operacions d'Adams en els K-grups aritmètics superiors tensorialitzats amb Q. <br/><br/>El desenvolupament d'aquest treball requeria eines per comparar morfismes dels K-grups algebraics superiors a grups de cohomologia adequats o als mateixos K-grups. En el capítol 2, estudiem aquestes comparacions a un nivell general, donant teoremes que detallen condicions suficients per tal que dos morfismes coincideixin. La teoria en què es recolzen les demostracions és la teoria homotòpica de feixos simplicials. <br/><br/>Com a aplicació, demostrem que les operacions d'Adams definides per Grayson a coincideixen, per a tot esquema noeterià regular de dimensió de Krull finita, amb les operacions d'Adams definides per Gillet i Soulé. En particular, se segueix que les operacions d'Adams definides per Grayson satisfan les identitats usuals d'un lambda-anell, fet que no quedava demostrat en l'article de Grayson. </I>