Phase-field study of transient stages and fluctuations in solidification

Abstract

L'estudi de la formació de microstructures en processos de solidificació té importants aplicacions científiques i tecnològiques. L'aparició d'aquestes estructures determina les propietats elèctriques i mecàniques del material solidificat, i té per tant un important interès tecnològic. La majoria d'aquestes estructures tenen el seu origen en una desestabilització morfològica de la interfase sòlid-líquid que es produeix a mesura que el front avança. Per aquest motiu, l'estudi del comportament dinàmic de la interfase resulta essencial per entendre els mecanismes que intervenen en la creació d'aquests patrons. <br/>Els processos de solidificació solen descriure's mitjançant problemes de contorn mòbil. Aquestes formulacions consten d'equacions per a la difusió del calor i de massa en les fases sòlida i líquida, que s'han de resoldre imposant l'acompliment de diverses condicions de contorn mòbils a la interfase. Els problemes de contorn mòbil, malgrat contenir tots els elements que intervenen en la dinàmica i ser de molta utilitat en l'àmbit de l'enginyeria, requereixen un cost computacional que no permet simular sistemes reals en règims interfacials complexos. <br/><br/>Els mètodes de camp de fase (phase-field methods), van aparèixer a principis dels anys vuitanta com una eina computacional que permetia l'estudi de fenòmens interfacials de caire general. Aquests mètodes descriuen la forma de la interfase mitjançant un camp continu que pren valors diferents i constants en les dues fases. La dinàmica d'aquest camp és llavors acoblada al camp de difusió de calor o massa que determina l'avanç del front de solidificació. Un dels avantatges d'aquests mètodes és que la seva simulació no requereix d'algorismes de seguiment de la interfase (front tracking algorithsms). <br/><br/>És ben conegut que les característiques principals de les microestructures en solidificació, es determinen durant els transitoris inicials en els que els corrents de massa i calor s'adapten a la evolució dinàmica del front. Un dels objectius en aquesta tesi és el de fer servir mètodes de camp de fase per descriure de forma quantitativa aquests transitoris. Per comprovar la validesa del nostre procediment, es realitza una comparació quantitativa entre els resultats numèrics obtinguts i diferents prediccions analítiques derivades del problema de contorn mòbil. <br/><br/>Per un altra banda, la desestabilització del front es veu afectada per la presència de fluctuacions al sistema. Aquestes pertorbacions microscòpiques poden tenir el seu origen a les fluctuacions termodinàmiques internes, o bé ser conseqüència de imperfeccions experimentals que actuen com a font externa de soroll. El segon objectiu d'aquesta tesi és la introducció de fluctuacions en mètodes de camp de fase, de forma que es pugui estudiar l'amplificació dinàmica de les pertorbacions microscòpiques que acaben donant lloc a estructures macroscòpiques. <br/><br/>Per finalitzar, analitzem el problema de la selecció en solidificació direccional. Estudiem els règims lineal i no-lineal, tot determinant les condicions, el moment i la forma en que apareixen les estructures dendrítiques i cel·lulars.

Crystal growth is a non-equilibrium process which involves physical mechanisms at very different scales. When a solidification front advances, mass and heat diffusion processes are combined with interfacial phenomena like capillarity or kinetic attachment. A complex interplay between these mechanisms gives rise to complex interfacial structures like snowflakes or cellular patterns. <br/>The formation of microstructures in solidification has both a scientific and a technological interest. On one hand, the study of the different interfacial structures constitutes a fundamental problem in the field of non-equilibrium pattern-forming systems. On the other side, from a technological point of view, the presence of microstructures determines the final mechanical and electrical properties of the processed material. <br/>Directional solidification is a controlled solidification technique which reproduces the conditions occurring in some important metallurgical processes like material casting or zone melting refining procedures. In a directional solidification experiment, the alloy sample is pulled at a constant velocity towards the cold region of an externally-imposed temperature gradient. Depending on the growth conditions, a morphological destabilization of the solid-liquid interface occurs during early transient stages. These initial transients are associated to a solute redistribution process due to the adaptation of the concentration field to the forced motion of the sample. The main objective of this thesis is to study the dynamical evolution of the morphological deformations of the front from these initial transients to the final stages where the properties of the interfacial pattern are determined. <br/>An important point in this process is that the internal fluctuations of the system play the role of an initiation mechanism for the morphological deformations of the front. During the initial transients, some of these microscopic perturbations are amplified by several orders of magnitude, and a range of wavelengths becomes morphologically unstable. The interfacial deformations of the front can be then characterized by means of power spectrum techniques. <br/><br/>In order to study the dynamical evolution of the solidification front in directional solidification, we have used both theoretical and computational approaches: <br/><br/>The main computational technique used in this thesis is the phase-field approach, which is a powerful method to simulate complex interfacial phenomena. The model equations describe the evolution of a continuous field , which takes different constant values at the solid and liquid bulks of the system. This field is then coupled with equations for the mass diffusion, and allows performing numerical studies without simulating the standard Stefan-like moving boundary problem. The phase-field method provides a diffuse interface description in which the transition from solid to liquid happens in a region of a certain thickness. The interface thickness introduces a new length in the simulations which must be taken into account to recover quantitative results. <br/><br/>One major point in this thesis concerns with the introduction of fluctuations in phase-field methods. In the particular case of variational phase-field formulations -in which the model equations can be derived from a single free energy functional for the whole system-, the introduction of fluctuations can be done by applying the Fluctuation-Dissipation theorem. Variational formulations, however, although their appealing structure, present a poor computational efficiency and cannot be used to obtain quantitative results. To this extent, we have derived a general approach which does not relay in the Fluctuation-Dissipation assumption and permits to introduce fluctuations in both variational and non-variational phase-field formulations. <br/><br/>Well-established analytical techniques like boundary integral methods for the transient front position and linear stability analysis of the interface during the transient have been used as theoretical predictions for the computational results. <br/><br/>The dynamical evolution of the solidification front can be divided in two stages: A linear regime where the initial noise is amplified, and a non-linear coarsening process where the final properties of the interfacial pattern are selected. We have studied these different stages of the solidification process by using the phase-field approach, and good agreement is obtained when comparing with well-established theoretical and experimental predictions.