Aplicaciones de la dinámica de Fokker-Planck

Abstract

El estudio de la dinámica de un sistema físico macroscópico mediante sus ecuaciones microscópicas del movimiento tiene un interés innegable, pero posee también unas limitaciones muy poderosas. En primer lugar no siempre son bien conocidos sus componentes microscópicos ni las ecuaciones dinámicas que éstos obedecen. En segundo lugar, aún conociendo bien los componentes internos del Sistema y sus ecuaciones del movimiento, el numero de éstas es tan elevado (del orden del número de Avogrado) que su tratamiento puede resultar imposible en la práctica. Por úl.timo, el hech.o de que la observación .sea siempre macroscópica nos asegura que bastan pocas variables (llamadas relevantes, “gruesas” o macroscópicas) para dar una buena descripción de las procesos que tienen lugar en esos sitemas. Esta ultima situación ha conducido a postular ecuaciones fenomenológicas del movimiento, para estas variables, basadas en principios físicos muy generales, como pueden ser: la conservación de masa, de la energia, del momento, etc; siendo la mayoria de ellas ecuaciones de continuidad.

Estas ecuaciones fenomenológicas consiguieron explicar muchos de los fenómenos obs.ervados, pero quedaba todavía par explicar las fluctuaciones completamente aleatorias que, por otra parte, también eran observadas. Dado el caracter completamente det.erminista de tales ecuaciones fenomenológicas, estaba claro que de ellas no se podía derivar ningun tipo de fenómeno probabilístico, como son las fluctuaciones.

Todas estas consideraciones han hecho que en los últimos años haya aumentado considerablemente el interés por explicar los problemas estadísticos referidos al equilibrio y al no equilibrio mediante ecuaciones diferenciales estocásticas para las variables relevantes del problema en estudio. El éxito de la descripción de los sistemas macroscópicos en términos de variables relevantes es debido principalmente a que el número elevado de grados de libertad que se han eliminado, que eran de variación rápida en el tiempo y corta en el espacio, se han tenido en cuenta dejando fluctuar a las variables relevantes.

Así pues, en analogía con la idea de Langevin para la dinámica de una partícula browniana la dinámica de estos sistemas más complicados puede ser descrita mediante ecuaciones diferenciales de primer orden en el tiempo del tipo de la ecuación de Langevin en las que una parte es determinista y otra estocástica. Aunque existen otro tipo de descripciones nos limitaremos en este trabajo al estudio de las ecuaciones del tipo de Langevin.