Stable solutions of nonlinear fractional elliptic problems

Abstract

This thesis is devoted to study integro-differential equations. This type of equations constitutes nowadays a very active field of research which has important applications in modeling real-life phenomena where nonlocal interactions appear. The most canonical example of integro-differential operators is the fractional Laplacian, which is the infinitesimal generator of a radially symmetric Lévy process.

We are interested in the regularity and qualitative properties of stable solutions to semilinear equations. Such solutions are those at which the linearized operator associated to the equation is nonnegative. They correspond to steady states of a system which are stable under small perturbations.

The thesis is divided in two parts. In the first one we study the boundedness of stable solutions to a semilinar problem for the fractional Laplacian in a bounded domain. We consider the case when the domain is a ball, and we establish a condition on the power of the Laplacian and the dimension for stable solutions to be bounded. In particular, in dimensions between 2 and 6, both included, we prove that stable solutions are bounded for all powers of the fractional Laplacian.

To establish these results we use the extension problem for the fractional Laplacian. This is an important technique that relates a fractional problem with a local one in a half-space of one more dimension.

In the second part of the thesis we are focused on the study of saddle-shaped solutions to the integro-differential Allen-Cahn equation. These solutions, defined only when the dimension is even, are doubly radial, odd with respect to the Simons cone, and vanish only on this set. The importance of studying saddle-shaped solutions is due to their relation with the theory of nonlocal minimal surfaces and a fractional version of a conjecture by De Giorgi. They are the simplest non 1D candidates to be global minimizers in high dimensions, a property not yet established in any dimension.

First we consider the problem where the operator appearing in the equation is the fractional Laplacian, and we use the extension problem. Our results establish the uniqueness of the saddle-shaped solution in all even dimensions, and its stability in even dimensions greater or equal than 14. Before this work, it was known that these solutions are unstable in dimensions 2, 4, and 6. Thus, after our result, the stability remains an open problem only in dimensions 8, 10, and 12.

In dimensions greater or equal than 14, our result leads to the stability of the Simons cone as a nonlocal minimal surface. This is the first analytical proof of a stability result for the Simons cone in the nonlocal setting.

We also study, for first time in the literature, saddle-shaped solutions to more general integro-differential Allen-Cahn equations with an operator which is rotation invariant and uniformly elliptic, but not the fractional Laplacian. Since the extension problem is no longer available, some new nonlocal techniques are developed in this thesis.

We establish an appropriate setting to develop a theory of existence and uniqueness for the saddle-shaped solution. More precisely, we characterize the kernels for which we can carry out such a theory, by finding a necessary and sufficient condition on the convexity of the kernel. These results are achieved by writing the operator acting on a doubly radial odd function as a new integro-differential operator acting on functions defined only at one side of the Simons cone.

Under the previous assumption on the kernel, we establish existence, uniqueness, and asymptotic behavior of the saddle-shaped solution to the integro-differential Allen-Cahn equation in all even dimensions. For this, we prove, among others, an energy estimate for doubly radial minimizers, a Liouville type result, the one-dimensional symmetry of positive solutions to semilinear problems in a half-space, and maximum principles in "narrow" sets.

Aquesta tesi està dedicada a estudiar equacions integro-diferencials. Aquest és un camp de recerca molt actiu actualment, amb aplicacions importants en modelització de fenòmens on apareixen interaccions de tipus no local. L'exemple més canònic d'operador integro-diferencial és el laplacià fraccionari, que és el generador infinitessimal de processos de Lévy radialment simètrics. El nostre principal objecte d'estudi és la regularitat i propietats qualitatives de solucions estables d'equacions semilineals. Aquestes solucions són aquelles per les quals l'operador linearitzat associat a l'equació és no-negatiu, i corresponen a estats estacionaris d'un sistema que són estables sota petites pertorbacions. La tesi està dividida en dues parts. A la primera, estudiem la regularitat de solucions estables d'un problema semilineal amb el laplacià fraccionari a un domini fitat. Considerem el problema en una bola i establim una condició per a la dimensió i la potència del laplacià fraccionari per tal que les solucions estables siguin fitades. En particular, en dimensions entre 2 i 6, ambdues incloses, demostrem que les solucions estables són fitades per a totes les potències del laplacià fraccionari. Per tal d'establir els resultats anteriors, fem servir el problema d'extensió del laplacià fraccionari. Aquesta és una tècnica important que relaciona un problema fraccionari amb un de local en un semiespai en una dimensió superior. A la segona part de la tesi ens dediquem a l'estudi de solucions de tipus sella per a l'equació d'Allen-Cahn integro-diferencial. Aquestes solucions, definides en espais de dimensió parella, són doblement radials, imparelles respecte el con de Simons i s'anul·len només en aquest conjunt. La importància d'aquestes solucions rau en la seva relació amb la teoria de superfícies mínimes no locals i amb una versió fraccionaria d'una conjectura de De Giorgi. Primer considerem l'equació amb el laplacià fraccionari, i fem servir el problema d'extensió. Els nostres resultats estableixen la unicitat de la solució de tipus sella en qualsevol dimensió parella, així com l'estabilitat en dimensions parelles més grans o igual que 14. Abans del nostre treball, només se sabia que aquestes solucions eren inestables en dimensions 2, 4 i 6. Per tant, després del nostre resultat l'estabilitat és un problema obert només en dimensions 8, 10 i 12. En dimensions parelles més grans o igual que 14, provem també l'estabilitat del con de Simons com a superfície mínima no local. Aquesta és la primera demostració analítica d'un resultat d'estabilitat pel con de Simons en el marc no local. Després dels resultats pel laplacià fraccionari, per primer cop a la literatura estudiem solucions de tipus sella per equacions integro-diferencials de tipus Allen-Cahn on l'operador que hi apareix és uniformement el·líptic i invariant per rotacions, però no és el laplacià fraccionari. Com el problema d'extensió ja no es pot fer servir, en aquesta tesi desenvolupem algunes tècniques no locals noves. Establim un marc apropiat on desenvolupar una teoria d'existència i unicitat per a la solució de tipus sella. Més precisament, caracteritzem els operadors pels quals es pot dur a terme aquesta teoria, trobant una condició necessària i suficient sobre la convexitat del nucli de l'operador. Per provar aquests resultats, escrivim l'operador actuant sobre una funció imparella i doblement radial com un nou operador que actua sobre funcions definides només a un costat del con de Simons. Sota les hipòtesis de convexitat anteriors, provem l'existència, unicitat i comportament asimptòtic de la solució de tipus sella per a l'equació d'Allen-Cahn integro-diferencial en totes les dimensions parelles. Per fer-ho, demostrem, entre d'altres, una estimació d'energia per minimitzants doblement radials, un resultat de tipus Liouville, la simetria de solucions positives de problemes semilineals en un semiespai i principis màxims en conjunts "estrets".