Interacting ultracold few-boson systems

Abstract

In this thesis, we study the physical properties of several ultracold few-boson systems depending on the interactions between their constituents. Nowadays, experimentally, it is possible to have great control with high precision over the geometry and the interactions between the particles, making them an excellent setup to test directly the principles of quantum mechanics. A very interesting point is to study the evolution of their properties with the number of particles. The theoretical study of these systems pretends to microscopically understand the current experimental results and give support to new experimental developments.

The method that will be used is the exact diagonalization of the Hamiltonian of the system. As we will see, in spite of the attempts to improve it, the method is limited by the fact that, in practice, it is only useful to study few-particle systems. The method has several advantages. First of all, one has access to both the ground and the excited states. In second place, the method is variational and converges to the exact solution as long as the Hilbert space in which we diagonalize is enlarged. Moreover, since we have access to the states of the system, it is possible to calculate any observable quantity of interest.

First, we will study a system of spinless bosons trapped in a two-dimensional harmonic potential. The effect of the trap is to keep the system bound. It will be seen how the presence of a repulsive interaction changes the energy spectrum and other properties of the system. For instance, the density profile, which is usually measurable, and also the two-body distribution function, which is intimately related to the existence of correlations.

Afterwards, the focus will be on the particular case of having only two bosons in the system interacting through a strong repulsive force. Inspired by the one-dimensional case where the fermionization phenomenon takes place in the strongly-interacting limit, we will study whether in two dimensions there is a resembling reminiscent effect. In other words, we will analyze if there are properties of the two strongly-interacting bosons in two dimensions that are like the ones of two noninteracting fermions.

After that, we will tackle the localization phenomenon in a one-dimensional system that is caused by an external speckle potential that introduces disorder in the system. We will show that the localization is a robust phenomenon against repulsive contact interactions.

Finally, we will study the influence of the spin-orbit coupling in a system of bosons with two possible pseudospin components, associated, for instance, to two hyperfine levels, confined in a two-dimensional harmonic trap. We will present an exhaustive analysis of the combined effects of the interaction and the spin-orbit coupling in the spectrum and the properties of the system. In particular we show the existence of a crossover in the ground state of the system susceptible to be experimentally identified.

En aquesta tesi, estudiarem les propietats físiques de diversos sistemes de pocs bosons ultrafreds depenent de les interaccions entre els seus constituents. Avui dia, a nivell experimental, es té un gran control amb una gran precisió de la geometria i les interaccions entre les partícules, fet que fa aquest sistemes excel·lents per comprovar de forma directa els principis de la mecànica quàntica. Un punt d'interès és comprovar l'evolució de les seves propietats amb el nombre de partícules. L'estudi teòric d'aquests sistemes pretén entendre a nivell microscòpic els resultats experimentals actuals i donar suport pels nous avenços experimentals.

El mètode que farem servir serà la diagonalització exacta del hamiltonià del sistema. Com veurem, malgrat les millores que es poden implementar, ens trobarem amb la limitació de no poder estudiar sistemes de més d'unes quantes partícules. Els avantatges d'aquest mètode són diversos. En primer lloc, podrem obtenir no només l'estat fonamental del sistema sinó que també els primers estats excitats. En segon lloc, el mètode és variacional i sabem que convergeix cap a la solució exacta a mesura que ampliem l'espai de Hilbert en que diagonalitzem. A més a més, en tenir accés als estats del sistema, podem calcular qualsevol quantitat observable que sigui d'interès.

Primerament, estudiarem un sistema de bosons sense espín atrapats en un potencial harmònic bidimensional. L'efecte de la trampa és de mantenir el sistema lligat. En haver-hi una interacció repulsiva, veurem com canvia l'espectre d'energia del sistema i també altres propietats. Per exemple, la seva densitat, que habitualment es pot mesurar, i també la funció de distribució de dos cossos, que va íntimament lligada a l'existència de correlacions.

Tot seguit, ens centrarem en el cas particular de tenir només dos bosons en el sistema interaccionant a través d'una gran força repulsiva. Inspirats pel cas unidimensional en que té lloc el fenomen de la fermionització en el limit d'interacció molt forta, estudiarem si en el cas bidimensional hi queda cap reminiscència d'aquest efecte. En altres paraules, analitzarem si hi ha propietats dels dos bosons fortament interactuants en dues dimensions que siguin com les de fermions no interactuants en el mateix sistema.

A continuació, tractarem el fenomen de la localització en un sistema unidimensional en el qual hi ha un potencial extern de tipus speckle que introdueix desordre en el sistema. Veurem que la localització és un fenomen robust en front de les interaccions repulsives.

Per últim, estudiarem la influència de l'espín-òrbita en un sistema de bosons amb dues components de pseudoespín, associades, per exemple, a dos nivells hiperfins, atrapats en un potencial harmònic bidimensional. Presentarem un anàlisi exhaustiu dels efectes conjunts de la interacció i l'espín- òrbita en l'espectre i en les propietats del sistema. En particular, mostrarem l'existència d'un encreuament en l'estat fonamental del sistema susceptible de ser identificat experimentalment.