Restricted Weak Type Extrapolation of Multi-Variable Operators and Related Topics

Abstract

A remarkable result in Harmonic Analysis is the so-called Rubio de Francia’s extrapolation theorem. Roughly speaking, it says that if one has an operator T that is bounded on Lp(v), for some p 1 and every weight v in Ap, then T is bounded in Lq(w), for every q > 1 and every weight w in Aq. Rubio de Francia’s extrapolation theory is very useful in practice, but there is an issue: it does not allow to produce estimates for q = 1. The works of M. J. Carro, L. Grafakos, and J. Soria [9], and M. J. Carro and J. Soria [14] give a solution to this problem, allowing to extrapolate down to the endpoint q = 1. In this project, we started building upon these works to produce multi- variable extensions of the extrapolation results that they presented. We have succeeded in this endeavor, and now we possess extrapolation schemes in the setting of weighted Lorentz spaces that are of great use when trying to bound multi-variable operators for which no sparse domination is known, and also when working with Lorentz spaces outside the Banach-range. As a particular case, we have studied product-type operators, two-variable commutators, averaging operators, and bi-linear multipliers. Sawyer-type inequalities play a fundamental role in the proof of our multi-variable extrapolation schemes and are essential to complete the charac- terization of the weighted restricted weak type bounds for the point-wise product of Hardy-Littlewood maximal operators. In this work, we have ex- tended the classical weak (1, 1) Sawyer-type inequalities proved in [27] to the general restricted weak type case, even in the multi-variable setting. In 2017, at the University of Alabama, we started a collaboration with David V. Cruz-Uribe to produce restricted weak type bounds for fractional operators, Calderón-Zygmund operators, and commutators of these operators. We managed to obtain satisfactory results on this matter, even two-weight norm inequalities, applying a wide variety of techniques on sparse domination, function spaces, and weighted theory.

En el camp de la Teoria de pesos, un resultat que ha atret l’atenció de molts investigadors és l’anomenat Teorema d’extrapolació de Rubio de Francia. En la seva forma més simple, diu que si tenim un operador T que està acotat a l’espai de Lebesgue Lp(v), per algun p 1 i cada pes v en Ap, llavors T està acotat a l’espai de Lebesgue Lq(w), per cada q > 1 i cada pes w en Aq. L’extrapolació de Rubio de Francia proporciona un potent conjunt d’eines en l’Anàlisi Harmònica, però té un punt feble; no permet arribar a l’extrem q = 1. Els treballs de M. J. Carro, L. Grafakos, i J. Soria [9], i M. J. Carro i J. Soria [14] resolen aquest problema, obtenint esquemes d’extrapolació de tipus dèbil (1, 1) amb pesos en A1. En aquest projecte de tesi vam començar a estudiar aquests articles per produir extensions multivariable dels resultats d’extrapolació que s’hi ex- posen. Hem tingut èxit en aquesta tasca, i ara posseïm esquemes d’extrapolació multivariable de tipus mixt i dèbil restringit que són de gran utilitat en l’obtenció d’acotacions d’operadors en múltiples variables pels quals no es coneixen resultats de dominació sparse, i també quan treballem en espais de Lorentz pels quals la dualitat no està disponible. Com a cas particular, hem estudiat operadors producte, commutadors en dos variables i multiplicadors bilineals. Les desigualtats de tipus Sawyer han jugat un paper fonamental en les demostracions dels nostres teoremes d’extrapolació, així com en l’estudi del producte puntual d’operadors maximals de Hardy-Littlewood. Hem sigut capaços d’ampliar les desigualtats de Sawyer clàssiques de [27] al tipus dèbil restringit amb pesos en ARp , i també hem demostrat les corresponents extensions multivariable. Durant una estada de tres mesos a la Universitat d’Alabama, vam iniciar una col·laboració amb David V. Cruz-Uribe. El nostre objectiu era estudiar els operadors fraccionaris i de Calderón-Zygmund en múltiples variables, i obtenir-ne acotacions de tipus dèbil restringit amb pes. Combinant tècniques de dominació sparse i propietats dels espais de Lorentz, vam demostrar diverses estimacions per aquests operadors, i també pels seus commutadors.