Qualitative properties of solutions to integro-differential elliptic problems

Abstract

The thesis is devoted to the analysis of elliptic PDEs and related problems. It is mainly focused on the study of qualitative and regularity properties of solutions to integro-differential equations. The study of such equations has attracted much attention recently since they arise naturally in different areas when dealing with processes where long range interaction phenomena appear. The canonical example of integro-differential operators is the fractional Laplacian, which is translation, rotation, and scale invariant. The thesis is divided into three parts. Part I concerns the study of uniqueness and regularity properties of solutions to integro-differential linear problems. First, we prove, by following a nonlocal Liouville-type method, the uniqueness of solutions in the one-dimensional case, in the presence of a positive solution or of an odd solution vanishing only at zero. As an application, we deduce the nondegeneracy of layer solutions (bounded and monotone solutions) to semilinear problems of Allen-Cahn type. Next, we establish the first boundary regularity result for the Neumann problem associated to the fractional Laplacian. We prove that weak solutions are Hölder continuous up to the boundary by developing a delicate Moser iteration with logarithmic corrections on the boundary. We also establish a Neumann Liouville-type theorem in a half-space, which is used together with a blow-up argument to show higher regularity of solutions. Part II of the thesis is focused on the study of the saddle-shaped solution to the integro-differential Allen-Cahn equation. These solutions, whose zero level set is the Simons cone, are expected to be the simplest minimizer which is not one-dimensional to the local and nonlocal Allen-Cahn equation in high enough dimensions. It plays, thus, the same role as the Simons cone in the theory of minimal surfaces. First, we study the saddle-shaped solution for the fractional problem by using the extension problem. We establish its uniqueness and, in dimensions greater or equal than 14, its stability. As a byproduct, we give the first analytical proof of a stability result for the Simons cone in the nonlocal setting for such dimensions. The key ingredient to prove these results is a maximum principle for the linearized operator. Next, we study saddle-shaped solutions for any rotation invariant and uniformly elliptic integro-differential operator. In this scenario, we need to develop some new nonlocal techniques since the extension approach is not available. In this respect, our main contribution is a characterization of the kernels for which one can develop a theory of existence and uniqueness of saddle-shaped solutions. Under these assumptions, we establish an energy estimate for doubly radial odd minimizers and some properties of the saddle-shaped solution, namely: existence, uniqueness, asymptotic behavior, and a maximum principle for the linearized operator. Finally, in Part III we develop a nonlocal Weirstrass extremal field theory. In analogy to the local theory, we construct a calibration for the nonlocal functional in the presence of a foliation made of solutions when the nonlocal Lagrangian satisfies an ellipticity condition. The model case in our setting corresponds to the energy functional for the fractional Laplacian, for which such a calibration was still unknown. The existence of such a calibration allows us to prove that any leaf of the foliation is automatically a minimizer for its own exterior datum, with no need to have an existence result of minimizers, neither to know their regularity.

La tesis está dedicada al análisis de EDPs elípticas y problemas relacionados. Se centra principalmente en el estudio de propiedades cualitativas y de regularidad de soluciones de ecuaciones integro-diferenciales. El estudio de estas ecuaciones ha recibido mucho interés en los últimos tiempos, ya que aparecen de forma natural en diferentes áreas cuando se tratan fenómenos que involucran interacciones de largo alcance. El operador integro-diferencial canónico es el laplaciano fraccionario, que es invariante por traslaciones, rotaciones y cambios de escala. La tesis se divide en tres partes. La primera trata el estudio de propiedades de unicidad y regularidad para soluciones de problemas lineales integro-diferenciales. En primer lugar, probamos, siguiendo un método no local de tipo Liouville, la unicidad de soluciones en el caso unidimensional, en presencia de una solución positiva o de una solución impar que se anula solo en el origen. Como aplicación, deducimos la no degeneración de soluciones 'layer' (soluciones acotadas y monótonas) de problemas semilineales de tipo Allen-Cahn. A continuación, establecemos el primer resultado de regularidad en la frontera para el problema de Neumann asociado al laplaciano fraccionario. Demostramos que las soluciones débiles son Hölder continuas hasta el borde mediante una delicada iteración de Moser con correcciones logarítmicas en la frontera. También establecemos un teorema de tipo Liouville con condiciones de Neumann en un semiespacio, que se usa junto con un argumento de 'blow-up' para demostrar regularidad de orden superior para las soluciones. La parte II de la tesis se centra en el estudio de la solución de tipo silla para la ecuación integro-diferencial de Allen-Cahn. Se espera que estas soluciones, cuyo conjunto de nivel cero es el cono de Simons, sean el minimizante más simple que no unidimensional para la ecuación local y no local de Allen-Cahn en dimensiones suficientemente altas. Juegan, por tanto, el mismo papel que el cono de Simons en la teoría de superficies mínimas. Primero, estudiamos la solución de tipo silla para el problema fraccionario utilizando el problema de extensión. Establecemos su unicidad y, en dimensiones mayores o iguales a 14, su estabilidad. Como consecuencia, damos la primera prueba analítica de un resultado de estabilidad para el cono de Simons en el marco no local para tales dimensiones. El ingrediente clave para probar estos resultados es un principio del máximo para el operador linealizado. A continuación, estudiamos soluciones de tipo silla para cualquier operador integro-diferencial que sea invariante por rotaciones y uniformemente elíptico. En este escenario necesitamos desarrollar nuevas técnicas no locales, ya que el problema de extensión no está disponible. En este sentido, nuestra principal contribución es la caracterización de los núcleos para los que se puede desarrollar una teoría de existencia y unicidad para las soluciones de tipo silla. Bajo esa condición, establecemos una estimación de energía para minimizantes impares y doblemente radiales así como algunas propiedades para la solución de tipo silla, como existencia, unicidad, comportamiento asintótico y un principio máximo para el operador linealizado. Finalmente, en la Parte III desarrollamos una teoría de campo de extremales de Weirstrass nolocal. En analogía con la teoría local, construimos una calibración para funcionales no locales en presencia de una foliación por soluciones cuando el lagrangiano no local satisface una condición de elipticidad. El caso modelo en este marco es el funcional de energía asociado al laplaciano fraccionario, para el cual aún se desconocía tal calibración. La existencia de una calibración nos permite probar que cualquier hoja de la foliación es automáticamente minimizante para su propio dato exterior, sin necesidad de tener un resultado de existencia de minimizantes, ni conocer su regularidad