Gröbner's problem and the geometry of GT-varieties

Abstract

Within the framework of algebraic geometry and commutative algebra, this thesis makes advances in (1) the Gröbner's longstanding problem of determining whether a monomial projection of the Veronese variety Vn,d is an aCM variety; (2) it contributes to the fundamental problem of describing the internal structure of the ring of invariants of a finite subgroup of GL(n+1,K). Our approach towards these subjects involves combinatorics with an application to the Lefschetz properties of artinian ideals. The heart of this dissertation is expounded in four chapters with an introductory Chapter 1 collecting all the basic notions and results needed onwards; and an Appendix A containing two algorithms and implementations with the software Wolfram Mathematica. In Chapter 2, we treat Gröbner's problem and we study the invariants of the cyclic extension bG of a finite diagonal abelian group G in GL(n+1,K)$ of order d. We prove that the set B1 of monomial invariants of G of degree d minimally generates the ring RbG of invariants. We establish that B1 parameterizes an aCM monomial projection Xd of Vn,d, which we call a bG-variety with group G. They form a family of aCM monomial projections of Vn,d blending commutative algebra, algebraic geometry, combinatorics and the Lefschetz properties. In Chapter 2, we study the geometry of bG-varieties Xd with group G. We investigate their Hilbert function and series from the perspectives of invariant theory and combinatorics. We prove that their homogeneous ideals I(Xd) are generated by binomials of degree at most 3 and we exhibit examples reaching this bound. We identify the canonical module ωXd of Xd with an ideal I(relint(HA)) of RbG and we prove that it is generated by monomial of degree d and 2d. We characterize the Castelnuovo-Mumford regularity of Xd in terms of ωXd. In Chapter 3, we investigate the invariants of finite supgroups of SL(3,K) and we relate them to the weak Lefschetz property. We consider the cyclic extension of a representation in SL(n+1,K) of the dihedral group D2d of order 2d. We prove that its ring of invariants is minimally generated by a set of monomials and binomials of degree 2d which generates a non monomial GT-system with group D2d and parameterizes an aCM projection SD2d of V2,d. We describe a minimal graded free resolution of SD2d and we compute a minimal set of generators of I(SD2d) of degree 2. In Chapter 4, we introduce RL-varieties Xd: a family of smooth rational non aCM monomial projections of Vn,d related to bG-varieties Xd with group G. They are parameterized by a set of monomials of degree d determined by ωXd which defines an embedding of Pn. These properties allow us to describe their normal bundles NXd and to contribute to the classical problem of computing the dimension of the cohomology of the normal bundle of projective varieties.

La tesis doctoral contribuye principalmente a dos problemas remarcables en geometría algebraica y álgebra conmutativa. Por un lado tenemos el problema, propuesto por Gröbner en 1967, de determinar cuándo una proyección monomial de la variedad de Veronese es aritméticamente Cohen-Macaulay (aCM). Por otro lado, el problema clásico y fundamental de describir la estructura interna del anillo de invariantes de un grupo finito. El enfoque desarrollado en la disertación es combinatorio con una aplicación a las propiedades de Lefschetz de los ideales artinianos. La disertación se ha organizado en cuatro capítulos principales, un Capítulo 1 introductorio donde se recopilan las nociones y resultados básicos que se necesitan en el cuerpo del texto; y un Apéndice A donde se recogen dos algoritmos y sus implementaciones en el programa Wolfram Mathematica, los cuales se han utilizado en la ejemplicación de los resultados principales de la tesis.En el Capítulo 2, consideramos el problema de Gröbner y demostramos que dado un grupo G lineal, diagonal, abeliano y finito de orden d, el conjunto de invariantes monomiales de G de grado d es un sistema minimal de generadores del anillo de invariantes de su extensión cíclica GG. Demostramos que dicho conjunto de monomios parametriza una proyección monomial aCM de la variedad de Veronese.Llamamos a dichas projecciones GG-variedades con grupo G, forman una familia de variedades aCM que conectan la geometria algebraica, el álgebra conmutativa, la combinatoria y las propiedades de Lefschetz.En el Capítulo 3, estudiamos la geometría de las GG-variedades con grupo G en aras de determinar una resolución libre y minimal de su anillo de coordenades homogéneo. Analizamos su función y serie de Hilbert desde el punto de vista de la combinatoria y la teoria de invariantes. Demostramos que su ideal homogéneo está minimalmente generado por binomios de grado como máximo 3 y exhibimos ejemplos que alcanzan dicha cota. Identificamos su módulo canónico con un ideal del anillo de invariantes de GG y probamos que está generado por monomios de grado d y 2d. En el Capítulo 4, investigamos la relación entre los invariantes de grupos lineales no abelianos y la propiedad débil de Lefschetz. Demostramos que el anillo de invariantes de una representación del grupo diedral D de orden 2d está mínimamente generado por monomios y binomios de grado 2d. Esto nos permite probar que generan un GT-sistema y que parametriza una GT-variedad aCM. A continua -ción determinamos una resolución libre y minimal de su anillo de coordenadas homogéneo y determinamos un sistema minimal de generadores de su ideal homogéneo de grado 2.En el Capítulo 5, introducimos la família de RL-variedades. Se trata de proyecciones monomiales no aCM lisas y racionales de la variedad de Veronese relacionadas con las GG-variedades con grupo G. Describimos el fibrado vectorial normal de una RL-variedad y contribuimos al problema clásico de determinar la dimensión de la cohomología del fibrado normal de variedades proyectivas.