Probabilistic and extremal studies in additive combinatorics

Abstract

The results in this thesis concern extremal and probabilistic topics in number theoretic settings. We prove sufficient conditions on when certain types of integer solutions to linear systems of equations in binomial random sets are distributed normally, results on the typical approximate structure of pairs of integer subsets with a given sumset cardinality, as well as upper bounds on how large a family of integer sets defining pairwise distinct sumsets can be. In order to prove the typical structural result on pairs of integer sets, we also establish a new multipartite version of the method of hypergraph containers, generalizing earlier work by Morris, Saxton and Samotij.

L'objectiu de la combinatòria additiva “històricament també anomenada teoria combinatòria de nombres” és la d’estudiar l'estructura additiva de conjunts en determinats grups ambient. La combinatòria extremal estudia quant de gran pot ser una col·lecció d'objectes finits abans d'exhibir determinats requisits estructurals. La combinatòria probabilística analitza estructures combinatòries aleatòries, identificant en particular l'estructura dels objectes combinatoris típics. Entre els estudis més celebrats hi ha el treball de grafs aleatoris iniciat per Erdös i Rényi. Un exemple especialment rellevant de com aquestes tres àrees s'entrellacen és el desenvolupament per Erdös del mètode probabilístic en teoria de nombres i en combinatòria, que mostra l'existència de moltes estructures extremes en configuracions additives utilitzant tècniques probabilistes. Tots els temes d'aquesta tesi es troben en la intersecció d'aquestes tres àrees, i apareixen en els problemes següents. Solucions enteres de sistemes d'equacions lineals. Els darrers anys s'han obtingut resultats pel que fa a l’existència de llindars per a determinades solucions enteres a un sistema arbitrari d'equacions lineals donat, responent a la pregunta de quan s'espera que el subconjunt aleatori binomial d'un conjunt inicial de nombres enters contingui solucions gairebé sempre. La següent pregunta lògica és la següent. Suposem que estem en la zona en que hi haurà solucions enteres en el conjunt aleatori binomial, com es distribueixen aleshores aquestes solucions? Al capítol 1, avançarem per respondre aquesta pregunta proporcionant condicions suficients per a quan una gran varietat de solucions segueixen una distribució normal. També parlarem de com, en determinats casos, aquestes condicions suficients també són necessàries. Conjunts amb suma acotada. Què es pot dir de l'estructura de dos conjunts finits en un grup abelià si la seva suma de Minkowski no és molt més gran que la dels conjunts? Un resultat clàssic de Kneser diu que això pot passar si i només si la suma de Minkowski és periòdica respecte a un subgrup propi. En el capítol 3 establirem dos tipus de resultats. En primer lloc, establirem les anomenades versions robustes dels teoremes clàssics de Kneser i Freiman. Robust aquí es refereix al fet que en comptes de demanar informació estructural sobre els conjunts constituents amb el coneixement que la seva suma és petita, només necessitem que això sigui vàlid per a un subconjunt gran passa si només volem donar una informació estructural per a gairebé tots els parells de conjunts amb una suma d'una mida determinada? Donem un teorema d'estructura aproximat que s'aplica a gairebé la majoria dels rangs possibles per la mida dels conjunts suma. Sistemes de conjunts de Sidon. Les preguntes clàssiques sobre els conjunts de Sidon són determinar la seva mida màxima o saber quan un conjunt aleatori és un conjunt de Sidon. Al capítol 4 generalitzem la noció de conjunts de Sidon per establir sistemes i establim els límits corresponents per a aquestes dues preguntes. També demostrem un resultat de densitat relativa, resultat condicionat a una conjectura sobre l'estructura específica dels sistemes màxims de Sidon. Conjunts independents en hipergrafs. El mètode dels contenidors d'hipergrafs és una eina general que es pot utilitzar per obtenir resultats sobre el nombre i l'estructura de conjunts independents en els hipergrafs. La connexió amb la combinatòria additiva apareix perquè molts problemes additius es poden codificar com l'estudi de conjunts independents en hipergrafs.