Local preconditioning for parallel iterative solvers

Abstract

This thesis aims at improving the convergence of iterative solvers, used for algebraic systems coming from the discretization of partial differential equations (PDE), in the context of large scale simulations and high performance computing (HPC). The methodology followed consists in adapting some existing preconditiong techniques to the physics and numerics of convection-dominated transport and boundary layer problems in flows. For convection-dominated flows, a physics-based permutation algorithm is presented, which consists in renumbering the mesh in the direction of convection. This renumbering is then used together with a Gauss-Seidel preconditioner to propagate the result of the matrix-vector products along the convection. The robutsness and effectiveness of this preconditioner is proved in several test cases solving the heat equation as well as the Navier-Stokes equations in both sequential and in parallel using the Message Passing Interface library MPI. Additionally, the composition of preconditioners is proposed to solve cases where different local physical behaviors co-exist in the same flow. In particular, we focus on such problems where of a highly convective flow encounters an obstacle. Such problems involve a zone with high convection far from the obstacle and the development of a boundary layer in the vicinity of the obstacle. In numerical terms, these local behaviors translate into specific matrix structures that we will take advantage of to adapt the preconditioner locally. On the one hand, the linelet preconditioner is a well-known efficient preconditioner for boundary layers where the mesh is highly anisotropic, in particular to solve the Poisson equation. On the other hand, the streamline linelet that we propose in this thesis (Gauss-Seidel together with a mesh renumbering in the convection direction) is well adapted for locally hyperbolic flows. Both preconditioners will be composed (combined) in different ways to investigate their robustness in terms of convergence as well as their costs to solve the proposed transport problems. We will study as well their performances in terms of parallelization.

Esta tesis tiene como objetivo mejorar la convergencia de los métodos iterativos utilizados para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas provenientes de la discretización de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales (EDP), en el contexto de las simulaciones a gran escala y computación de altas prestaciones (HPC). La metodología seguida consiste en adaptar algunas técnicas de precondicionamiento existentes, a la física y la numérica en flujos que presentan una alta convección y flujos que presentan una capa límite. Para los flujos dominados por convección, se presenta un algoritmo de permutación basado en la física, que consiste en la renumeración de la malla en la dirección de la convección. Esta renumeración se usa luego junto con el precondicionador Gauss-Seidel para propagar el resultado de los productos matriz-vector a lo largo de la convección. La robustez y eficiencia de este precondicionador se demuestra en varios ejemplos en los que se resuelve la ecuación de calor y las ecuaciones de Navier-Stokes tanto en secuencial como en paralelo utilizando la librería interfaz de paso de mensajes (MPI). Además, se propone la composición de precondicionadores para resolver casos donde diferentes comportamientos físicos locales coexisten en el mismo flujo. En particular, nos enfocamos en los casos donde un flujo altamente convectivo se encuentra un obstáculo. En este tipo de problemas nos encontramos dos zonas: una con alta convección lejos del obstáculo y otra donde se desarrolla una capa límite en los alrededores del obstáculo. En términos numéricos, estos comportamientos locales se traducen en estructuras matriciales específicas que aprovecharemos para adaptar localmente el precondicionador. Por un lado, sabemos que el linelet es un precondicionador eficiente para resolver problemas de capa límite donde la malla es altamente anisótropa. En particular resulta eficiente para resolver la ecuación de Poisson. Por otro lado, sabemos que el linelet aerodinámico, el precondicionador que proponemos en esta tesis (precondicionador Gauss-Seidel junto con una renumeración de malla en la dirección de la convección) está bien adaptado para flujos localmente hiperbólicos. Con todo esto, proponemos también una composición de los dos precondicionadores (combinación de ambos) de distintas formas para investigar su robustez en términos de convergencia, así como sus costes para resolver los problemas de transporte propuestos. Estudiaremos también el rendimiento en cuanto a la paralelización se refiere.