Carácter asintótico de la invariancia adiabática

Abstract

En el estudio de la Física del Plasma y, más concretamente, en la llamada aproximación del centro guía se trata el problema del movimiento de partículas cargadas en un campo magnético variable. Los resultados obtenidos se basan en la hipótesis de que la variación de dicho campo es lenta, tanto en el espacio como en el tiempo. Se obtienen magnitudes que son "casi" constentes. El problema principal consiste, por tanto, en el estudio de bajo qué condiciones es posible el establecimiento de dichos invariantes y qué grado de aproximación suministran los distintos procedimientos empleados. Constituye en conjunto lo que se conoce con el nombre de aproximación adiabática.

El teorema adiabático ordinario, el de orden “m” y el generalizado, no son sino procedimientos para calcular el operador evolución del sistema físico que se estudia. El primero es clásico y suministra, en principio, una buena aproximación. El de orden “m”, presenta un mayor grado de validez, pero a costa de exigir al hamiltoniano unas condiciones extras que generalmente no tiene. En cambio el teorema adiabático generalizado suministra la aproximación deseada, sin otro requisito que repetir tantas veces como grado de aproximación se pretenda, el cambio de representrción conocido con el nombre de "representación de ejes giratorios".

Nuestro objeto era ampliar el campo de utilización y las posibilidades de la aproximación adiabática. Nos hemos visto en la necesidad de asentar firmemente los fundamentos de la misma antes de abrir nuevas posibilidades. Y ello nos ha sido posible gracias a la observación de que el carácter asintótico y el rigor de los tres teoremas adiabáticos descansa en el de una integral común, salvo pequeños detalles. De este modo hemos dedicado el primer capítulo al estudio exhaustivo de la misma, apoyándonos en los modernos conocimientos que se poseen sobre las series asintóticas.

Posteriormente, teniendo en cuenta les conclusiones del capítulo primero, nos he resultado relativamente sencillo presentar una demostración rigurosa, con la ventaja de ser común a los tres teoremas, salvo ligeros matices. En la última parte introducimos un exponente que al tomar distintos valores hace la demostración válida para cada uno de los tres teoremas.