Sistemas dinámicos de dimensión finita con ligaduras

Abstract

Aparte del atractivo meramente matemático, el interés físico del estudio de los sistemas dinámicos con ligaduras reside en un hecho fundamental: sólo las teorías físicas cuya dinámica esté descrita por una lagrahgiana singular o por una hamiltoniana no regular (presimpléctica) son susceptibles de exhibir invariancia gauge, y recíprocamente (aunque el sistema sea finito o infinito dimensional). Esta afirmación (cuya certeza queda puesta de manifiesto a lo largo de esta memoria) es bien conocida desde antaño y tiene una importancia capital, ya que prácticamente todas las teorías de interés en la Física Moderna exhiben esta característica.

Esta memoria tiene un doble objetivo. Por una parte, se pretende hacer un repaso general, pero exhaustivo, de los aspectos más fundamentales de la teoría de los sistemas dinámicos no regulares. Por otra, deseamos investigar algunos temas de esta teoría que están prácticamente inexplorados o cuyo estudio se halla aún cerrado. Esta investigación estará siempre referida a sistemas finito dimensionales

El desarrollo de los objetivos que se acaban de marcar, así como la revisión de los aspectos fundamentales de la teoría de los sistemas no regulares, quedan estructurados en esta memoria del siguiente modo. Se comienza en el capítulo I, haciendo un repaso general sobre la geometría simpléctica y presimpléctica. Con el capitulo II se inicia el estudio de la dinámica de los sistemas hamiltonianos no regulares, siguiendo el método de Dirac-Bergmann / Gotay-Nester. El capitulo III es una continuación del anterior y en él se contempla la dinámica definida directamente en la subvariedad final de ligaduras (ecuaciones de movimiento especializadas sobre dicha subvariedad, en contraposición a las ecuaciones "a soporte" heredadas del método del capítulo II). El capitulo IV está dedicado al tema de las trans formaciones canónicas para sistemas no regulares, mientras que en el capítulo V se aplican los conocimientos adquiridos a dos ejemplos ilustrativos. Con el capitulo VI se entra en una nueva temática: el formalismo lagrangiano. Aquí se exponen las líneas maestras de la construcción intrínseca de dicho formalismo, señalando las analogías y diferencias con el canónico. El capítulo VII está dedicado al estudio de la dinámica de los sistemas lagrangianos singulares, propiamente dicha. Para terminar, el capítulo VIII está dedicado a mostrar cómo se aplican las técnicas expuestas (principalmente en el capítulo VII) a un caso concreto; para lo cual se ha elegido una variante de un afamado modelo de interacción entre dos partículas relativistas.

La memoria se cierra con dos apéndices. En el primero de ellos, se dedican sus tres secciones a clarificar y eventualmente, a desarrollar ciertos puntos relativos a la proyectabilidad de magnitudes tensoriales por medio de la transformación de Legendre. En el segundo se demuestra una propiedad mencionada en la exposición. Un glosario de los términos más usados en la exposición completa ésta.