Galois Theory of Module Fields

Abstract

This thesis is about Galois theory.<br/><br/>The development of a Galois theory for differential equations analogous to the classical Galois theory for polynomial equations was already an aim of S. Lie in the 19th century. The first step in this direction was the development of a Galois theory for linear differential equations due to E. Picard and E. Vessiot. Later, B.H. Matzat and M. van der Put created a theory for iterative differential equations in positive characteristic. H. Umemura constructed a Galois theory for algebraic differential equations in characteristic zero.<br/><br/>There also exist analog theories for difference equations, starting with a theory for linear difference equations till the one due to S. Morikawa and H. Umemura for algebraic difference equations.<br/><br/>M. Takeuchi, K. Amano and A. Masuoka unified Galois theories for linear differential and linear difference equations using the language of module algebras.<br/><br/>This thesis has two goals. The first is the development of a more general Galois theory that combines the capacity of the theories of H. Umemura and S. Morikawa, which allow the treatment of field extensions of big generality, with the advantage of the formulation of K. Amano and A. Masuoka, which unifies structures like derivations and automorphisms. The second goal is the removal of the restriction to fields of characteristic zero from the theories of H. Umemura and S. Morikawa.<br/><br/>KEY WORDS: Galois Theory, Differential Equation, Difference Equation, Module Algebra

<I>Esta tesis se desarrolla en torno a la teoría de Galois.<br/><br/>El desarrollo de una teoría de Galois para ecuaciones diferenciales análoga a la de ecuaciones polinomiales fue ya un objetivo de S. Lie en el siglo XIX. El primer paso en esta dirección fue el desarrollo de una teoría de Galois para ecuaciones diferenciales lineales, debido a E. Picard y E. Vessiot. Después B.H. Matzat y M. van der Put crearon una teoría para ecuaciones diferenciales iterativas lineales en característica positiva. H. Umemura elaboró una teoría de Galois para ecuaciones diferenciales algebraicas en característica cero.<br/><br/>Existen teorías análogas para ecuaciones en diferencias, empezando con una teoría de Galois para ecuaciones en diferencias lineales, hasta la de S. Morikawa y H. Umemura para ecuaciones en diferencias algebraicas.<br/><br/>M. Takeuchi, K. Amano y A. Masuoka unificaron las teorías de Galois para ecuaciones diferenciales lineales y para ecuaciones lineales en diferencias usando el lenguaje de módulo álgebras.<br/><br/>Esta tesis tiene dos objetivos principales. El primero es el desarrollo de una teoría de Galois más general que combine la capacidad de las teorías de H. Umemura y S. Morikawa, que permite tratar extensiones de cuerpos de gran generalidad, con la ventaja de la formulación de K. Amano y A. Masuoka que unifica estructuras como las derivaciones y los automorfismos. El segundo objetivo es el de eliminar la restricción a cuerpos de característica cero de las teorías de H. Umemura y S. Morikawa. <br/><br/>PALABRAS CLAVE: Teoría de Galois, Ecuación diferencial, Ecuación en diferencias, Módulo álgebras </i>