A Geometrical Domain Decomposition Methods in Computational Fluid Dynamics

Abstract

El método de descomposición de dominios (DD) que se propone en esta tesis pretende resolver flujos incompresibles alrededor de objetos en movimiento relativo. El algoritmo de DD está basado en un acoplamiento del tipo Dirichlet/Neumann(Robin) aplicado a subdominios con solapamiento, y es, por tanto, una extensión del método Dirichlet/Neumann(Robin) clásico con subdominios disjuntos. En realidad, el campo de aplicación de este estudio es mucho más amplio puesto que en el se propone un posible marco teórico para abordar la extensión a subdominios solapados de los métodos mixtos clásicos: métodos Dirichlet/Robin, Dirichlet/Neumann, Robin/Neumann y Robin/Robin. Se observa que los métodos mixtos propuestos heredan propiedades del método de Schwarz y al mismo tiempo conservan el comportamiento de sus equivalentes sin solapamiento cuando este tiende a cero. <br/>Se muestra como resultado principal que el solapamiento hace estos métodos más robustos que los métodos sin solapamiento. El método de DD que se estudia es geométrico y algorítmico. Es geométrico en el sentido de que la partición del dominio computacional se lleva a cabo antes del proceso de mallado y de acuerdo con el acoplamiento de DD que se prevé usar. <br/>Es también algorítmico porque la solución en cada subdominio se obtiene en procesos diferentes y el intercambio de información entre subdominios se realiza mediante un código maestro. Tal estrategia es muy flexible puesto que requiere muy pocas modificaciones del código numérico original. Por consiguiente, sólo el código maestro necesita ser adaptado a los códigos y estrategias numéricos utilizados en cada subdominio. <br/>Se presenta una descripción detallada de la implementación del método de DD propuesto en el contexto numérico de los elementos finitos. Presentamos técnicas de interpolación para los datos de tipo Dirichlet y Neumann y desarrollamos algoritmos de conservación. Una vez el acoplamiento de DD y las interpolaciones definidos, presentamos un método del tipo Chimera para la resolución de flujos alrededor de objetos en movimiento. En particular, definimos transformaciones tensoriales para transformar variables de un subdominio a otro. <br/>Finalmente, el algoritmo de DD se aplica a un código implícito para la resolución de las ecuaciones de Navier-Stokes incompresibles y también a las ecuaciones de Navier-Stokes promediadas con un modelo de turbulencia de una ecuación.

The domain decomposition (DD) method we present in this work aims at solving incompressible flows around objects in relative motion. The DD algorithm is based on a Dirichlet/Neumann(Robin) coupling applied to overlapping subdomains. Hence, it is an extension of the classical Dirichlet/Neumann(Robin) method which uses disjoint subdomains. <br/><br/>Actually, the field of application of this work is wider as it proposes to set up a possible theoretical framework for studying the overlapping extensions of classical mixed methods: the Dirichlet/Robin, Dirichlet/Neumann, Robin/Neumann and Robin/Robin DD methods. <br/><br/>We observe that mixed DD methods inherit some properties of the Schwarz method while they keep the behavior of the classical mixed DD methods when the overlap tends to zero. <br/><br/>As a main result, we show that the overlap makes the proposed methods more robust than disjoint mixed DD methods. <br/><br/>The DD method we propose is geometric and algorithmic. It is geometric because the partition of the computational domain is performed before the meshing, and in accordance to the DD coupling. It is also algorithmic because the solution on each subdomain is obtained on separate processes and the exchange of information between the subdomains is carried out by a Master code. This strategy is very flexible as it requires almost no modification to the original numerical code. Therefore, only the Master code has to be adapted to the numerical codes and strategies used on each subdomain. <br/>We present a detailed description of the implementation of the DD methods in the numerical framework of finite elements. We present interpolation techniques for Dirichlet and Neumann data as well as conservation algorithms. <br/>Once the domain decomposition coupling and interpolation techniques are defined, we set up a Chimera method for the solution of the flow over objets in relative movements. Tensorial transformations are introduced to be able to express variables measures in one subdomain. <br/>Finally, the DD algorithm is applied to an implicit finite element code for the solution of the Navier-Stokes equations and also of the Reynolds Averaged Navier-Stokes equations together with a one-equation turbulence model.