Degenerate invariant tori in KAM theory

Abstract

[eng] The thesis develops an incipient methodology to study bifurcations of invariant curves in one-dimensional and quasiperiodic discrete systems, based on translated curve theorems and KAM theory.The (extended) phase space is a bundle whose base is a torus of dimension 1, and the real-line is the fiber but both the methodology and the results can be easily adapted to higher dimensional tori (the dimension being the number of external frequencies). The systems themselves are maps of bundles over translations in the torus with d frequencies. over translations on the torus with d frequencies. The methodology involves KAM theory, bifurcation theory, and translated curve theorems (in the spirit of Moser, Rüßmann, Herman, Delshams and Ortega). In the project, rigorous results are obtained in a posteriori format on the existence of families of translated tori in the analytical framework, establishing a methodology to study the bifurcations of translated tori. The a posteriori format is suitable to develop rigorous numerical calculations. Complementarily, the algorithms derived from the iterative process associated with this methodology have been implemented on the computer.

[spa] La tesis desarrolla una incipiente metodología para estudiar bifurcaciones de curvas invariantes en sistemas discretos unidimensionales y cuasi periódicos, basada en teoremas de curva trasladada y teoría KAM. El espacio de fases (extendido) es un fibrado cuya base es un toro unidimensional, y la recta real es la fibra, pero tanto la metodología como los resultados se pueden adaptar fácilmente a toros de mayor dimensión (siendo la dimensión el número de frecuencias externas). La metodología involucra teoría KAM, teoría de bifurcaciones y teoremas de grafo trasladado (en el espíritu de Moser, Rüßmann, Herman, Delshams y Ortega). En el proyecto se obtienen resultados rigurosos en formato a posteriori sobre la existencia de familias de toros trasladados en el contexto analítico, estableciendo una metodología para estudiar las bifurcaciones de toros invariantes. El formato a posteriori es adecuado para el desarrollo de herramientas numéricas rigurosas, que, con las que complementariamente se han implementado algoritmos derivados del proceso iterativo asociado a esta metodología.