Theta correspondences and arithmetic intersections

Abstract

(English) The thesis is mainly divided into two parts. In essence, the first one is an extension of the paper [Ter22]. Using the regularized Siege-Weil formula of [GQT14] we obtain an explicit expression for the truncated integral of the Siegel theta function. The main application of this result is an explicit formula for the integral of the logarithm of the Borcherds forms. The result involves different zeta values and coefficients of Eisenstein series. It completes the work of [Kud03]. Besides the aforementioned formula for the integral of the theta function, a detailed analysis of the Siegel theta function near the infinity is required. Chapter two is an extension of the work with Antonio Cauchi in [CT]. The purpose of this part is twofold. On the one hand, under some conditions, we show that the multiplicity of the Shalika model of unramified representations for the group GU(2, 2) is one. Using this result and following the ideas of [Sak06], we are able to find an expression of the Shalika functional in terms of the Satake parameter of a representation in GSp4. On the other hand, we use this result and to establish a relationship between a zeta integral for a group GU(2,2) and a twisted standard L-function of GSp4, where the relation between the involved automorphic representations is given by the theta correspondence.

(Español) Esta tesis está principalmente dividida en dos partes. En esencia, la primera parte es una extensión de la publicación [Ter22]. Gracias a la formula de Siegel-Weil regularizada de [GQT14], obtenemos una expresión explicita para la integral truncada de la función theta de Siegel. La principal aplicación de este resultado es una formula explicita para la integral del logaritmo del producto de Borcherds. El resultado obtenido consiste en valores de funciones zeta y coeficientes de series de Eisentein, completando el trabajo de [Kud03]. Además de usar la formula para la integral de la función theta anteriormente mencionada, el resultado requiere de un análisis de la función theta de Siegel cerca del infinito. El capítulo dos es una extensión del trabajo con Antonio Cauchi en [CT]. Esta parte tiene dos objetivos. Por una parte, bajo ciertas condiciones, obtenemos que la multiplicidad del modelo de Shalika para representaciones no ramificadas del grupo GU(2,2) es uno. Usando este resultado y siguiendo las ideas de [Sak06], encontramos una expresión para el funcional de Shalika usando el parámetro de Satake de una representación de GSp4. Por otra parte, usamos este resultado para establecer una relación entre una integral zeta para el grupo GU(2,2) y la función L twisted standard de GSp4, donde la relación entre las representaciones automorfas implicadas es dada por la correspondencia theta.