Topology optimization of incompressible structures for fluid-structure interaction problems

Abstract

(English) Topology optimization of incompressible structures, in which the loads on the structure come from the stresses exerted by a surrounding fluid, is a highly complex problem. This work presents a compilation of the research conducted to reproduce such complex phenomena.

Firstly, two stabilized mixed finite element methods for finite strain solid dynamics are developed. These stabilized methods are stable for any interpolation spaces of the unknowns. On the one hand, a two-field mixed displacement/pressure formulation capable of dealing with nearly and fully incompressible hyperelastic material behavior is presented. On the other hand, so as to be able to tackle the incompressible limit and at the same time, to obtain a higher accuracy in the computation of stresses, a three-field mixed displacement/pressure/deviatoric stress formulation is proposed. Stability, mesh convergence analysis and nonlinear iteration convergence analysis are performed together with several numerical examples for both formulations. It is shown that both formulations appropriately deal with the incompressibility constraint, but the three-field formulation exhibits higher accuracy in the stress field, even for very coarse meshes.

Secondly, we develop algorithms for topology optimization problems based on the topological derivative concept. To deal with incompressible materials, mixed formulations must be considered, but also a new decomposition of the well-known Polarization tensor is required for linear elastic materials. In the finite strain hyperelasticity assumption, an approximation of the topological derivative in combination with the mixed formulations previously presented is considered to deal with incompressibility. Several numerical examples are presented and discussed to assess the robustness of the proposed algorithms and their applicability to topology optimization problems for incompressible elastic solids.

Then, we analyze the numerical simulation of the interaction between viscoelastic fluid flows and hyperelastic solids. The fluid-structure interaction problem is solved sequentially. Flow equations are approximated using two stabilized three-field finite element formulations. To address flows with dominant elasticity, a log-conformation reformulation of the constitutive equation is employed. Several numerical examples are presented and discussed to assess the robustness of the proposed scheme and its applicability to problems with viscoelastic fluids, in which elasticity dominates the interaction with hyperelastic solids.

Finally, all numerical tools are combined to reproduce the topology optimization problem of incompressible structures subjected to the interaction with a surrounding fluid.

(Català) L'optimització topològica d'estructures incompressibles, en què les càrregues sobre l'estructura provenen de les tensions exercides per un fluid que l'envolta, és un problema d'alta complexitat. Aquest treball presenta una recopilació de la investigació realitzada per reproduir aquests fenòmens complexos.

En primer lloc, es desenvolupen dos mètodes d'elements finits estabilitzats per estudiar problemes de deformació finita en dinàmica de sòlids. Aquests mètodes són estables per qualsevol espai d'interpolació de les incògnites. Per una banda, es presenta una formulació mixta de dos camps, on les incògnites són desplaçaments i pressions. Aquesta formulació és capaç de tractar amb materials hiperelàstics que presenten un comportament quasi o totalment incompressible. Per l'altra banda, per ser capaços d'arribar al límit incompressible i, alhora, obtenir una major precisió en la computació del camp de tensions, una formulació mixta de tres camps és desenvolupada on afegim el camp de tensions desviadores com una incògnita més del problema. Anàlisis d'estabilitat, de convergència de malla i de convergència de les iteracions no-lineals són estudiades junt amb l'estudi d'exemples numèrics per ambdues formulacions. Es demostra que ambdues formulacions tracten de forma apropiada la restricció d'incompressibilitat, però, la formulació de tres camps mostra una major precisió en el camp de tensions, inclús per malles molt grolleres.

En segon lloc, algoritmes per problemes d’optimització topològica basats en el concepte de la derivada topològica són desenvolupats. Per ser capaços de tractar amb materials incompressibles, hem de considerar no només formulacions mixtes, sinó també, una descomposició del tensor de Polarització en elasticitat lineal. En el cas de la hipòtesi de materials hiperelàstics en deformació finita, requerim d’una aproximació de la derivada topològica en combinació amb les formulacions mixtes prèviament presentades. Es presenten i es discuteixen diversos exemples numèrics per avaluar la robustesa dels algoritmes proposats i la seva aplicabilitat a problemes d’optimització topològica per a sòlids elàstics incompressibles.

Seguidament, analitzem la simulació numèrica de la interacció entre fluids viscoelàstics i sòlids hiperelàstics. El problema d’interacció fluid-estructura es resol seqüencialment. Les equacions del flux s’aproximen utilitzant formulacions d’elements finits estabilitzats de dos camps i tres camps. Per abordar fluxos on l’elasticitat és dominant, una reformulació logarítmica de les equacions constitutives és emprada. Es presenten i es discuteixen diversos exemples numèrics per avaluar la robustesa de l’esquema proposat i la seva aplicabilitat a problemes amb fluids viscoelàstics, en els quals l’elasticitat domina la interacció amb sòlids hiperelàstics.

Finalment, totes les eines numèriques es combines per reproduir el problema d’optimització topològica d’estructures incompressibles sotmeses a la interacció amb un fluid circumdant.